Деление на ноль

Деление на ноль в математике — деление, при котором делитель равен нулю. Такое деление может быть формально записано 0, где  — это делимое.

В арифметике

В обычной арифметике (с вещественными числами) данное выражение не имеет смысла, так как:

  • при ≠ 0 не существует числа, которое при умножении на 0 даёт , поэтому ни одно число не может быть принято за частное 0;
  • при = 0 деление на ноль также не определено, поскольку любое число при умножении на 0 даёт 0 и может быть принято за частное 00.

Исторически одна из первых ссылок на математическую невозможность присвоения значения 0 содержится в критике Джорджа Берклиисчисления бесконечно малых.

Логические ошибки

Поскольку при умножении любого числа на ноль в результате мы всегда получаем ноль, при делении обеих частей выражения × 0 = × 0, верного вне зависимости от значения и , на 0 получаем неверное в случае произвольно заданных переменных выражение = . Поскольку ноль может быть задан не явно, но в виде достаточно сложного математического выражения, к примеру в форме разности двух значений, сводимых друг к другу путём алгебраических преобразований, такое деление может быть достаточно неочевидной ошибкой. Незаметное внесение такого деления в процесс доказательства с целью показать идентичность заведомо разных величин, тем самым доказывая любое абсурдное утверждение, является одной из разновидностей математического софизма[en][1].

В информатике

В программировании, в зависимости от языка программирования, типа данных и значения делимого, попытка деления на ноль может приводить к различным последствиям. Принципиально различны последствия деления на ноль в целой и вещественной арифметике:

  • Попытка целочисленного деления на ноль всегда является критической ошибкой, делающей невозможным дальнейшее исполнение программы. Она приводит либо к генерации исключения (которое программа может обработать сама, избежав тем самым аварийной остановки), либо к немедленной остановке программы с выдачей сообщения о неисправимой ошибке и, возможно, содержимого стека вызовов. В некоторых языках программирования, например, в Go, целочисленное деление на нулевую константу считается синтаксической ошибкой и приводит к аварийному прекращению компиляции программы.
  • В вещественной арифметике последствия могут быть различным в разных языках:
  • генерация исключения или остановка программы, как и при целочисленном делении;
  • получение в результате операции специального нечислового значения. Вычисления при этом не прерываются, а их результат впоследствии может быть интерпретирован самой программой или пользователем как осмысленное значение или как свидетельство некорректности вычислений. Широко используется принцип, согласно которому при делении вида 0, где ≠ 0 — число с плавающей запятой, результат оказывается равен положительной или отрицательной (в зависимости от знака делимого) бесконечности — или , а при = 0 в результате получается специальное значению NaN (сокр. от англ. not a number — «не число»). Такой подход принят в стандарте IEEE 754, который поддерживается многими современными языками программирования.

Случайное деление на ноль в компьютерной программе порой становится причиной дорогих или опасных сбоев в работе управляемого программой оборудования. К примеру, 21 сентября 1997 года в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всего электронного оборудования в системе, в результате чего силовая установка корабля прекратила свою работу[2][3].

См. также

Примечания

Функция = 1. Когда стремится к нулю справа, стремится к бесконеч­ности; когда стремится к нулю слева,  стремится к минус бесконечности

Действия с нулём

В математике число ноль занимает особое место. Дело в том, что оно, по сути дела, означает «ничто», «пустоту», однако его значение действительно трудно переоценить.

Почему нельзя делить на ноль?

Для этого достаточно вспомнить хотя бы то, что именно с нулевой отметки начинается отсчет координат положения точки в любой системе координат.

 

Ноль широко используется в десятичных дробях для определения значений «пустых» разрядов, находящихся как до, так и после запятой. Кроме того, именно с ним связано одно из основополагающих правил арифметики, гласящее о том, что на ноль делить нельзя. Его логика, собственно говоря, проистекает из самой сути этого числа: действительно, невозможно представить, чтобы некая отличное от него значение (да и само оно – тоже) было разделено на «ничто».

Примеры вычисления

С нулем осуществляются все арифметические действия, причем в качестве его «партнеров» по ним могут использоваться целые числа, обычные и десятичные дроби, причем все они могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. Приведем примеры их осуществления и некоторые пояснения к ним.

СЛОЖЕНИЕ

При прибавлении нуля к некоторому числу (как целому, так и к дробному, как к положительному, так и к отрицательному) его значение остается абсолютно неизменным.

Пример 1

Двадцать четыре плюс ноль равняется двадцать четыре.

+ =

Пример 2

Семнадцать целых три восьмых плюс ноль равняется семнадцать целых три восьмых.

ВЫЧИТАНИЕ

При вычитании нуля из некоторого числа (целого, дробного, положительного или отрицательного) оставляет его полностью неизменным.

Пример 1

Две тысячи сто пятьдесят два минус ноль равняется две тысячи сто пятьдесят два.

– =

Пример 2

Сорок одна целая три пятых минус ноль равняется сорок одна целая три пятых.

41

3

5

– 0 = 41

3

5

УМНОЖЕНИЕ

При умножении любого числа (целого, дробного, положительного или отрицательного) на ноль получается ноль.

Пример 1

Пятьсот восемьдесят шесть умножить на ноль равняется ноль.

× =

Пример 2

Ноль умножить на сто тридцать пять целых шесть седьмых равняется ноль.

× =

Пример 3

Ноль умножить на ноль равняется ноль.

× =

ДЕЛЕНИЕ

Правила деления чисел друг на друга в тех случаях, когда одно из них представляет собой ноль, различаются в зависимости от того, в какой именно роли выступает сам ноль: делимого или делителя?

В тех случаях, когда ноль представляет собой делимое, результат всегда равен ему же, причем вне зависимости от значения делителя.

Пример 1

Ноль разделить на двести шестьдесят пять равняется ноль.

: =

Пример 2

Ноль разделить на семнадцать пятьсот девяносто шестых равняется ноль.

Делить ноль на ноль согласно правилам математики нельзя. Это означает, что при совершении такой процедуры частное является неопределенным. Таким образом, теоретически оно может представлять собой абсолютно любое число.

: = ибо × =

В математике такая задача, как деление нуля на ноль, не имеет никакого смысла, поскольку ее результат представляет собой бесконечное множество. Это утверждение, однако, справедливо в том случае, если не указаны никакие дополнительные данные, которые могут повлиять на итоговый результат.

Таковые, при их наличии, должны состоять в том, чтобы указывать на степень изменения величины как делимого, так и делителя, причем еще до наступления того момента, когда они превратились в ноль. Если это определено, то такому выражению, как ноль разделить на ноль, в подавляющем большинстве случаев можно придать некий смысл.

Что будет если поделить на 0?

Сколько будет нуль разделить на нуль?

Шпаргалки для юных математиков

Это еще один из тех ошарашивающих детских вопросов, касающихся занимательной математики, на который с первого взгляда ответить так легко: «На нуль делить нельзя!», однако редко кому из родителей удается понятно объяснить, почему именно нельзя, а также работает ли это правило в отношении деления нуля на нуль. Попробуем разобраться, тем более что нуль — удивительное число с чудными качествами.

Представим, будто за столом собрались 10 человек и принесли с собой 20 яблок. Если делить яблоки поровну на всех, то каждому достанется по 2 яблока (20 разделить на 10 равно 2). Число 20 называется «делимое», поскольку оно расчленяется на какое-то количество частей. Число 10 называется «делитель», так как оно указывает, что как раз на столько частей будет расчленяться делимое число. Число 2 называется «частное» (слово произошло от существительного «часть»), ведь оно демонстрирует количество исходных объектов (в нашем примере это были яблоки), оказавшихся в любой из расчлененных частей.

Так вот операция деления считается разрешенной, если при умножении частного и делителя мы снова получаем делимое, то есть 20/10=2 — верная операция, потому что 2·10=20.

Математически данное правило, называющееся определением делимости, звучит так: целое число a делится на целое число b в том случае, когда существует такое целое число c, которое при умножении на число b дает число a.

По этому правилу получается, что всякое ненулевое число невозможно разделить на нуль, например 10/0=?, поскольку обратное умножение результирующего числа (частное ?) на нуль приведет только к нулевому результату, но ни в коем случае не к исходному ненулевому числу. Проще говоря, 10/0=? — запрещенная операция, так как невозможно решить ?·0=10.

Однако упомянутое выше правило говорит и о том, что нуль можно разделить на любое число, включая сам нуль, поскольку обратное умножение частного и делителя всегда приводит к исходному числу — делимому «нуль». Например, 0/27=0 — верная операция, ведь обратно получаем 27·0=0. Еще пример: 0/0=0 — «верная» операция, ведь и здесь получаем 0·0=0. Так что сама по себе операция деления нуля на нуль, согласно логике указанного правила, не считается неверной.

И все-таки последняя приведенная операция деления, где слово «верная» мы взяли в кавычки, отнесена математикой к разряду запрещенных. Сделано это по следующей причине. Результатом подобной операции с полной справедливостью может быть абсолютно любое число, какое только пожелаете. В самом деле, 0/0=5, поскольку легко получаем 5·0=0. И в то же время 0/0=6, так как снова легко получаем 6·0=0. И так далее. Какое бы мы число ни взяли, никогда не натолкнемся на противоречие.

Разумеется, математике такие «фокусы» не нужны, когда по воле вычисляющего одно и то же выражение дает непредсказуемый итог.

Именно для упреждения неразберихи было принято безусловное требование «На нуль делить нельзя в любом случае». Относительно деления ненулевого числа на нуль это требование имеет 100-процентную основу, ибо действительно невозможно найти такое частное, чтобы при умножении на нуль оно давало ненулевое делимое. Касаемо деления нуля на нуль основание имеет эквивалентную силу, просто построено оно на том несокрушимом факте, что неизвестная x, принимающая в выражении 0/0=xодновременно бесконечное множество значений, не может в один момент времени иметь более одного значения. То есть последнее основание опирается на возникающее противоречие.

Дмитрий Сахань, 7 мая 2005 года

Практически все школьники знают простое арифметическое правило «На ноль делить нельзя!» и никто из них не задумывается, почему с нулем невозможно выполнить такое математическое действие, как деление.

Попробуем разобрать этот арифметический принцип. Деление является одним из известных нам арифметических действий – сложение, вычитание, умножение и деление. Вычитание – действие обратное сложению, деление – умножению. Используя эти действия, можно проверить правильность решения задач, однако, эти арифметические действия не являются равноправными. С точки зрения математической науки полноценными из четырех действия являются только сложение и умножение, которые включаются в определение понятия чисел. Остальные действия – вычитание и деление – вытекают и базируются на двух первых.

Рассмотрим пример с вычитанием. Что значит разность двух чисел, например, «3-2»? Даже младший школьник скажет, что из числа «3» мы отнимаем число «2» и получаем «1». Однако математики видят решение этого простого примера совсем по-иному: никакого вычитания не существует, есть одно действие – сложение. Запись «3-2» представляет собой число, которое при сложении с числом «2», даст «3». Математическая запись этой задачи имеет вид уравнения с одним неизвестным «х» и выглядит следующим образом: «х+2=3». Как мы видим, никакого вычитания нет, а действие сложения позволяет нам найти подходящее неизвестное число.

Под таким же «соусом» можно рассмотреть деление. Например, «10:5» можно рассматривать следующим образом: десять яблок делим между пятью детьми. Если это действие представить, как видят его истинные математики, мы получим следующую запись: «5×х=10».

Теперь попытаемся совершить действие деления, но только с нулем. Например, запись «2:0» представим в виде уравнения с неизвестным: «0×х=2». Другими словами, нам нужно найти такое число, умножив которое на «0», мы получим «2».

Откуда растут ноги у запрета деления на нуль?

Вот тут и возникает основная трудность: в силу вступает неотъемлемое свойство «0» — при умножении любого числа на «0» всегда получается «0». То есть, в арифметике не существует такого числа, которое при умножении на «0», дало бы число, отличное от нуля. А значит, наша задача не имеет решения. Запись «а:0» (где а – любое число, отличное от нуля) бессмысленна, поэтому в математике вопрос «Почему на ноль делить нельзя» демонстрирует одно из основных свойств этого «неопределенного» числа.

Почему ноль нельзя делить на ноль?

Мы доказали, что любое число нельзя разделить на ноль. А как же быть с самим нулем – можно ли «0» разделить на «0»? Ведь, если представить деление на ноль через умножение: «0×х=0», то пример решается, ведь умножать на «0» допускается. Пусть х=0, тогда наше уравнение имеет следующий вид: 0×0=0. Получается, что можно выполнить такое действие, как: 0:0=0? Попробуем разрешить эту путаницу. Вместо неизвестного числа «х» возьмем любое число, например, «2». Получим «0×2=0». Все верно? Значит, выражение «0:0=2» имеет смысл?

Но выходит, что такое действие можно совершать с любыми числами: 0:0=10, 0:0=350, 0:0=10259…

Если для совершения действия деления на ноль подходят любые числа, то нам нет смысла выбирать из них какое-то одно. А значит, мы не сможем определенно сказать, какому из существующих чисел соответствует запись «0:0». Отсюда следует ее бессмысленность и получается, что ноль нельзя делить на ноль!

Вот такая особенность операции деления на ноль, а точнее операции умножения.

Некоторые любознательные могут задать вопрос: почему делить на ноль нельзя, а вычитать его можно?

На этот вопрос ответить можно, только объяснение связано уже не с числами, а с математическими множествами и операциями над ними, которые изучаются в университетском курсе математики.

Как объяснить ребенку, почему нельзя делить на ноль?

Детские вопросы – самые сложные для взрослых. Найти на них ответ иногда очень сложно, а ответить доступно для ребенка бывает просто невозможно.

К такому вопросу относится и вопрос «Почему на ноль делить нельзя?», ответ на который не знают даже взрослые — просто их так учили в школе и над ответом никто не задумывался.

Начнем с простого. Математика, как наука, зародилась очень давно. Чтобы как-то уметь с ней обращаться наши предки придумали числа, которые что-то обозначали. Только ноль не обозначал «ничего», т.е. пустоту. Например, у тебя есть 5 мелков, если отдать другу все 5 мелков, то у тебя ничего не останется, т.е. ноль.

Теперь о делении на ноль. Если деление представить в виде ножа, разрезающего все на равные кусочки, то целое можно разделить на две, три, четыре… и т.д. равные части. Однако что-либо разделить на ноль одинаковых частей невозможно, ведь их просто не существует.

Интересное о разном

Комментарии (1)

  • Алгебраическая структура пространства-времени, алгебродинамика полей и частиц

    Вашему вниманию предлагается исследовательская программа, последовательно возрождающая неопифагорейскую философию в теоретической физике и основанная на убеждении в неслучайности физических законов, в существовании единого первичного принципа, определяющего структуру (видимого и невидимого) Мира и записанного на абстрактном математическом языке, на языке Чисел (целых, действительных и, возможно, их обобщений).

  • Теорема Ферма. Как её доказывали…

    Кажется, ХХ век прошёл не зря.

    Можно ли делить на ноль? Отвечает математик

    Сначала люди создали на миг второе Солнце, взорвав водородную бомбу. Потом они прогуливались по Луне и, наконец, доказали пресловутую теорему Ферма. Из этих трёх чудес первые два у всех на слуху, ибо они вызвали огромные социальные последствия. Напротив, третье чудо выглядит очередной учёной игрушкой — в одном ряду с теорией относительности, квантовой механикой и теоремой Гёделя о неполноте арифметики. Впрочем, относительность и кванты привели физиков к водородной бомбе, а изыскания математиков наполнили наш мир компьютерами. Продолжится ли этот ряд чудес в XXI веке? Можно ли проследить связь между очередными учёными игрушками и революциями в нашем быту? Позволяет ли эта связь делать успешные предсказания? Попробуем понять это на примере теоремы Ферма.

  • Сложность конечных последовательностей нулей и единиц и геометрия конечных функциональных пространств

    Арнольд В. И.

    Популярная лекция, в том виде, в каком Владимир Игоревич Арнольд прочитал ее 13 мая 2006 года в концертном зале «Академический» по приглашению фонда «Династия». Эту лекцию, как уверяет сам академик Арнольд, может понять даже школьник.

  • Энциклопедии элементарной математики

    Александров П.

    С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я.

    Сборник книг предназначается для людей, изучавших элементарную математику и уже ставших или готовящихся стать преподавателями элементарной математики. Логика нашего издания — это логика систематического, по возможности простого и доступного изложения тех вопросов математической науки, из которых строится школьный курс, а также и тех, которые хотя и не находят в этом курсе прямого выражения, однако необходимы для правильного и сознательного его понимания и создают перспективы для дальнейшего развития содержания и методов школьного курса.

  • Число, время, свет

    Владимир Кассандров

    Программа Гордона

    Существует ли единый «Код Природы»? Может ли число порождать свет, а свет — материю? В чем суть основных принципов «неопифагорейского» подхода к построению физических теорий? О «реке времени» и частицах как точках «сгущения» первичных световых потоков — физик Владимир Кассандров.

  • Обезьяны могут решать арифметические задачи, оперируя цифрами и символами

    Обезьяны могут решать математические задачи. Исследователям удалось научить трёх макак-резусов (Macaca mulatta) выполнять простейшие операции на сложение с помощью арабских цифр от 1 до 25.
  • Уроки атеизма. Медиамифы РПЦ

    Александр Невзоров

    Тема урока: великий ученый-хирург Войно-Ясенецкий, благотворительность церкви, наука и математика на Руси.

  • Абстрактное и конкретное в математике

    Алексей Семихатов

    Как математически были классифицированы симметрии явлений? Как соотносятся полупростые группы Ли и физика элементарных частиц? Что явилось математической предпосылкой существования кварков? О полупростых группах Ли, классификации элементарных частиц и математических моделях в природе рассказывает Алексей Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.

  • Десять великих идей науки. Как устроен наш мир

    Питер Эткинз

    Эта книга предназначена для широкого круга читателей, желающих узнать больше об окружающем нас мире и о самих себе. Автор, известный ученый и популяризатор науки, с необычайной ясностью и глубиной объясняет устройство Вселенной, тайны квантового мира и генетики, эволюцию жизни и показывает важность математики для познания всей природы и человеческого разума в частности.
  • О лотереях

    Игра эта давно приобрела массовый характер и стала неотъемлемой частью современной жизни. И хотя лотерея всё больше расширяет свои возможности, многие люди по-прежнему видят в ней лишь способ обогащения. Пусть и не бесплатный и не надёжный. С другой стороны, как заметил один из героев Джека Лондона, в азартной игре нельзя не считаться с фактами — людям иногда везёт.
  • Как убрать ошибку деления на ноль в Excel с помощью формулы

    В математике деление на ноль – невозможно! Одним из способов для объяснения данного правила является анализ процесса, который показывает, что происходит, когда одно число разделено на другое.

    Ошибка деления на ноль в Excel

    В реальности операция деление это по сути тоже что и вычитание. Например, деление числа 10 на 2 является многократным вычитанием 2 от 10-ти. Многократность повторяется до той поры пока результат не будет равен 0. Таким образом необходимо число 2 вычитать от десяти ровно 5 раз:

    1. 10-2=8
    2. 8-2=6
    3. 6-2=4
    4. 4-2=2
    5. 2-2=0

    Если же попробовать разделить число 10 на 0, никогда мы не получим результат равен 0, так как при вычитании 10-0 всегда будет 10. Бесконечное количество раз вычитаний ноля от десяти не приведет нас к результату =0. Всегда будет один и ото же результат после операции вычитания =10:

    • 10-0=10
    • 10-0=10
    • 10-0=10
    • ∞ бесконечность.

    В кулуарах математиков говорят, что результат деления любого числа на ноль является «не ограниченным». Любая компьютерная программа, при попытке деления на 0, просто возвращает ошибку. В Excel данная ошибка отображается значением в ячейке #ДЕЛ/0!.

    Но при необходимости можно обойти возникновения ошибки деления на 0 в Excel. Просто следует пропустить операцию деления если в знаменателе находится число 0. Решение реализовывается с помощью помещения операндов в аргументы функции =ЕСЛИ():

    Таким образом формула Excel позволяет нам «делить» число на 0 без ошибок. При делении любого числа на 0 формула будет возвращать значение 0.

    Ответы на любые вопросы

    То есть получим такой результат после деления: 10/0=0.

    Как работает формула для устранения ошибки деления на ноль

    Для работы корректной функция ЕСЛИ требует заполнить 3 ее аргумента:

    1. Логическое условие.
    2. Действия или значения, которые будут выполнены если в результате логическое условие возвращает значение ИСТИНА.
    3. Действия или значения, которые будут выполнены, когда логическое условие возвращает значение ЛОЖЬ.

    В данном случаи аргумент с условием содержит проверку значений. Являются ли равным 0 значения ячеек в столбце «Продажи». Первый аргумент функции ЕСЛИ всегда должен иметь операторы сравнения между двумя значениями, чтобы получить результат условия в качестве значений ИСТИНА или ЛОЖЬ. В большинстве случаев используется в качестве оператора сравнения знак равенства, но могут быть использованы и другие например, больше> или меньше >. Или их комбинации – больше или равно >=, не равно !=.

    Если условие в первом аргументе возвращает значение ИСТИНА, тогда формула заполнит ячейку значением со второго аргумента функции ЕСЛИ. В данном примере второй аргумент содержит число 0 в качестве значения. Значит ячейка в столбце «Выполнение» просто будет заполнена числом 0 если в ячейке напротив из столбца «Продажи» будет 0 продаж.

    Если условие в первом аргументе возвращает значение ЛОЖЬ, тогда используется значение из третьего аргумента функции ЕСЛИ. В данном случаи — это значение формируется после действия деления показателя из столбца «Продажи» на показатель из столбца «План».

    Таким образом данную формулу следует читать так: «Если значение в ячейке B2 равно 0, тогда формула возвращает значение 0. В противные случаи формула должна возвратить результат после операции деления значений в ячейках B2/C2».

    Формула для деления на ноль или ноль на число

    Усложним нашу формулу функцией =ИЛИ(). Добавим еще одного торгового агента с нулевым показателем в продажах. Теперь формулу следует изменить на:

    Скопируйте эту формулу во все ячейки столбца «Выполнение»:

    Теперь независимо где будет ноль в знаменателе или в числителе формула будет работать так как нужно пользователю.

    Читайте также: Как убрать ошибки в Excel

    Данная функция позволяет нам расширить возможности первого аргумента с условием во функции ЕСЛИ. Таким образом в ячейке с формулой D5 первый аргумент функции ЕСЛИ теперь следует читать так: «Если значения в ячейках B5 или C5 равно ноль, тогда условие возвращает логическое значение ИСТИНА». Ну а дальше как прочитать остальную часть формулы описано выше.

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *