Линейная интерполяция онлайн

Решение задач: Интерполяция таблично-заданных функций

В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме интерполирования функций, заданных таблично. Для восстановления функций используются интерполяционные многочлены Лагранжа, полиномы Ньютона, также применяется кусочно-линейная и кусочно-квадратичная аппроксимация.

Примеры решений по численным методам интерполяции онлайн

Задача 1. Для функции $y=f(x)$, заданной таблицей своих значений, найти ее приближенное значение в точке , используя интерполяционные многочлены в форме Ньютона 1-ой и 2-ой степеней. Оценить погрешность приближения по формуле остаточного члена.

Построение интерполяционных многочленов Ньютона

Задача 2. 1) Построить интерполяционный многочлен
2) Найти экстремумы этого многочлена
3) Найти корни
4) Построить график полученного многочлена

Решение задачи на построение и исследование интерполяционного многочлена

Задача 3. Дана таблица значений функции. Используя интерполяционный многочлен Ньютона вычислить значение функции при x = 0.077.

Нахождение интерполяционного многочлена Ньютона

Задача 4. Провести интерполяцию многочленом Лагранжа функции, заданной в таблице.

Нахождение интерполяционного многочлена Лагранжа

Примеры решений по методам вычислений

Онлайн калькулятор расчета линейной интерполяции по 2 точкам с выводом формулы решения и графика.

Квадратичная интерполяция

Если интерполирующая функция — многочлен второго порядка , то интерполяция называется квадратичной. Иногда ее называют параболической на отрезке [xi-1, xi+1], так как квадратный трехчлен — это парабола , где — неизвестные. Для их определения необходимо условие прохождения параболы через три точки: .

       
 
   
 

 

Эти условия запишем в виде:

Решив систему, получим значения , а, следовательно, и уравнение параболы на участке [xi-1, xi+1]. Уравнения парабол на разных отрезках [xi-1, xi+1] разные. . Квадратичная интерполяция является локальной интерполяцией.

 

Пример. Найти приближенное значение функции при х = 0,32, если известна таблица ее значений, с помощью линейной и квадратичной интерполяции.

 

х 0,15 0,30 0,40 0,55
у 2,17 3,63 5,07 7,78

Решение.

1) С помощью линейной интерполяции.

х = 0,32 находится между узлами xi-1 = 0,30 и xi = 0,40. Найдем и :

, тогда уравнение прямой, соединяющей данные узлы, имеет вид .

Найдем значение функции в заданной точке: .

 

2) С помощью квадратичной интерполяции.

Ближайшими к х = 0,32 являются узлы xi-1 = 0,15, xi = 0,30, xi+1 = 0,40. Составим систему для нахождения коэффициентов параболы, проходящей через данные узлы:

Решив систему, получим, что . Подставим числа в уравнение параболы :

.

Найдем значение функции в заданной точке: .

Многочлен Лагранжа

Примером глобальной интерполяции являетсяпостроение интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка[x0, xn], график которого проходит через все заданные в таблице точки. Это многочлен Лагранжа. Его уравнение имеет вид:

— интерполяционный многочлен Лагранжа.

Оценка погрешности замены функции многочленом Лагранжа:

, где .

 

Решение предыдущего примера с помощью многочлена Лагранжа.

 

= раскроем скобки и получим многочлен 3-ей степени.

Найдем значение функции в точке х = 0,32:

= 3, 89.


Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 6200;


Похожие статьи:

Те, кто не знаком с понятием ЛОГАРИФМ должны прежде всего бегло просмотреть соответствующую страницу в Википедии.

Моя задача помочь понять зачем нам (в науке вообще и в нашем проекте, в частности) потребовался это масштаб. Без него не обойтись когда есть необходимость представить величину сильно изменяющую свое значение на предполагаемом поле графика.

Попробуйте нарисовать в привычном вам линейном масштабе следующую зависимость

1 0,0001
2 0,001
3 0,01
4 0,1
6 3
8 5
20 20

Ничего нагляднее приведенного справа графика не придумаешь. В графике такого (линейного) типа каждая клеточка по оси У имеет один и тот же размер в числах (на нашем графике одна клетка соответствует 2.

Но давайте попробуем рассмотреть шкалу у которой одна клеточка соответствует одному порядку величины. То есть, клеточка от 1 до 10 будет того же размера, что и клетка от 10 до 100; от 100 до 1000 или в другую сторону от 0,1 до 1 или от 0,01 до 0,1. Иными словами по оси У будем откладывать величины соответствующие логарифму У.

Тогда тот же график приобретет иной вид. На нем теперь хорошо видно значения всех точек и поведение кривой во всем диапазоне.

Логарифмический масштаб

Как практически пользоваться (считывать данные с графика в логарифмической шкале?

Онлайн расчет двойной линейной интерполяции (билинейная)

Очень просто и понятно из следующего рисунка.

Особо любознательным советую для общего развития познакомиться с тем, что такое логарифмическая линейка. С ее помощью достаточно просто производить умножение и деление чисел с точностью 2-3 знака. До появления калькуляторов и компьютеров все продавцы и бухгалтерские работники пользовались счетами, а инженеры и научные работники — логарифмическими линейками!

Обозначим две задачи, которые периодически возникают в практике волновых аналитиков (рисунок 1).

Задача №1. На некотором рынке волна I соединила уровни 100 и 400. Третья волна стартовала на отметке 250 и достигла цели в 1000. Как соотносятся волны I и III?
Задача №2. На некотором рынке волна А соединила уровни 400 и 100. Волна С, которая началась на отметке 250, составляет 161.8% от А. На каком уровне завершается волна С?


Рисунок 1 — волновые формации в обычных координатах.

Рисунок 2 — волновые формации в логарифмических координатах.

Действующие волны в наших задачах весьма значительны (цены изменяются в разы) — на таких расстояниях нужно использовать логарифмический масштаб. Перестроим наш график в логарифмический (рисунок 2) и обозначим разворотные точки a-d (не путайте с волнами зигзага). Пропорции между волнами находим из уравнения:

Решения: в первой задаче третья волна равна первой — ln(1000/250)/ln(400/100)=1.
Во второй задаче ответ 26.5 пунктов, поскольку ln(250/26.5)/ln(400/100)=1.618. Эта задача имеет решение и при соотношении С=2.618А и даже при С=4.236А.

Когда использовать логарифмическую шкалу?

В известных книгах по волновой теории вопрос применения логарифмов толком не прояснён. Так или иначе признаётся, что прогресс цивилизации идёт логарифмически, а рост на 10 пунктов с уровня 10 и аналогичный рост с уровня 100 это два принципиально разных движения, которые не могут иметь одинаковый размер. Но где граница между традиционным арифметическим и логарифмическим масштабами?

На просторах сети можно встретить указание использовать логарифмы если изменение котировок превышает 3 раза. На первый взгляд, это логично, но при детальном рассмотрении появляется одна важная нестыковка — как поступать с волнами старших порядков, которые не укладываются в установленные рамки. Неужели придётся использовать сразу две шкалы — логарифмическую для глобальных разметок и обычную на каждый день?

Следующий пример наглядно поясняет всю противоречивость такого подхода. На рисунке 3 слева показан график курса доллара с 2014-го года в логарифмическом масштабе, а справа — традиционный ценовой график с лета 2015-го. Во втором случае мы имели полное право рисовать импульс с растянутой пятой, хотя логарифмы явно запрещали этот сценарий, ибо предполагаемая волна 3 оказалась короче первой, а растяжения не выполнялись от слова совсем.


Рисунок 3 — график USDRUB в логарифмических и обычных координатах.

Чтобы избежать подобных конфликтов и соблюсти единообразие я советую всегда использовать логарифмическую шкалу.

Она универсальна. На старших фреймах она единственная покажет правильные пропорции между волнами и ей нет никакой альтернативы. Если ценовые изменения незначительны, то логарифмические пропорции совпадут с обычными арифметическими, так что мы ничего не нарушим и при этом нам не придётся переключаться с одного масштаба на другой.

Отмечу, что некоторые аналитики допускают возможность измерения волн не только в логарифмах, но и в разах или процентах. На мой взгляд, подобный подход является в чистом виде самодеятельностью и не имеет под собой никаких теоретических обоснований.

Линейная интерполяция — онлайн калькулятор

Кроме того, совершенно не понятно как построить такие волны на графике.

Почему используется именно логарифм?

Давайте посмотрим откуда берутся логарифмические координаты. Как было сказано, рост на 10 пунктов с уровня 10 и аналогичный рост с уровня 100 это два разных движения. Чем выше поднимается рынок, тем проще ему расти относительно стартовой точки. Если мы планируем избавиться от этого казуса, нам придётся разбить всё движение на бесконечно мелкие части и поднимать точку отсчёта на каждом шаге.

Возьмём два дискретных процесса. Первый из них моделирует подвижную точку отсчёта — значение x начинается с единицы и на каждом шаге прирастает на k% от предыдущего. Второй процесс линейный – значение y начинается с нуля и на каждом шаге увеличивается на k% от единицы. Теперь найдём такое преобразование, которое свяжет процессы X и Y при бесконечно малом k.

Переход от обычной шкалы к логарифмической наглядно проиллюстрирован на рисунке 4. В линейном процессе (справа) размер шага постоянный и не зависит от того, с какого уровня начинается изменение цены. Логарифмический процесс (слева) избавлен от этого недостатка — чем больше текущее значение цены, тем больше дискретный шаг.


Рисунок 4 — сравнение процессов изменения цены в разных масштабах.

Как можно понять, логарифмический масштаб скрадывает изменения цены, сделанные в верхней части графика и растягивает тренды из «подвала». Так, волна роста по индексу Доу с 1974-го по 2001-ый год в обычной системе координат превысила 1200% от волны роста с 1942-го по 1966-ой годы. В логарифмах эти волны соотносятся в пропорции 1.27.
Изображение на главной странице взято из фотобанка Лори

18. Способы интерполирования горизонталей и особенности их проведения

Интерполяция (лат.) — вставка внутрь.  Под интерполяцией в математике понимают всякий способ, с помощью которого можно по таблице найти промежуточные результаты,  которых нет непосредственно в таблице. 

При рисовке горизонталей на планах используют следующие способы интерполяции:

1."На глаз" (визуально). Предположим, что на плане имеются три соседние точки с подписанными высотами 201.35, 203.30, 200.75. Необходимо провести горизонтали с высотой сечения рельефа 1.0  м, т.е. найти визуально плановое положение линий с высотами 201, 202 и 203 м.

Рис.18а. Интерполирование и проведение горизонталей "на глаз"

2. Аналитический, который предусматривает определять расстояние до горизонталей из прямо пропорциональной зависимости между превышением и горизонтальным проложением между точками с подписанными на плане высотами.  Из рис.18б видно,  что расстояния от точки А до горизонталей с высотами 202 и 203 d1 = h1. dab/hab,  d2 = h2. dab/hab,

где h1 и h2 — превышения между горизонталями с отметками 202 и  203  и  точкой А с отметкой 201.35 (0.65 и 1.65 м);

dab — расстояние, измеряемое на плане между пикетными точками;

hab — превышение между точками А и В (203.30 — 201.35 = 1.95 м)

Рис.18б. Аналитический способ интерполяции горизонталей

3.Графический способ предусматривает использование  палетки,  представляющей собой прозрачный лист бумаги или пластика с нанесенным рядом параллельных линий (горизонталей) через 5…10 мм друг от друга.  Подписав на палетке отметки горизонталей, которые необходимо провести, и, поворачивая палетку на плане, совмещают точки с отметками с горизонталями на палетке, продавливают карандашом их на план (рис. 18в).

Рис.18в. Графический способ интерполяции горизонталей

Свойства горизонталей и особенности их проведения:

1. Горизонталь — линия равных высот т.е. все ее точки имеют одинаковую высоту;

2. Горизонталь должна быть непрерывной плавной линией;

3. Горизонтали не могут раздваиваться и пересекаться;

4. Расстояние между горизонталями (заложение) характеризуют крутизну ската.

Интерполяция онлайн

Чем меньше расстояние, тем круче скат;

5. Водораздельные и водосборные линии горизонтали пересекают под прямым углом;

6. В случаях, когда заложение превышает 25мм, проводят дополнительные горизонтали (полугоризонтали) в виде штриховой линии (длина штриха 5-6 мм, расстояние между штрихами 1-2 мм);

7. При окончательном оформлении плана выполняют некоторое сглаживание горизонталей в соответствии с общим характером рельефа, при этом предельная  погрешность  изображения  рельефа  горизонталями не должна превышать 1/3 основного сечения.

Tags: точки  погрешности  горизонтали  длина  превышение  расстояние  зависимости  особенности  равный  

1/2, -3/4, 5/7

1.52 или 0,19 можно иcпользовать как «.» так и «,»

sqrt(4), sqrt(4/3)

sin(1), cos(1), tan(1), atan(1)

pow(3, 2) = 3*3 !при pow(3,2, 4,3) — система поймет что вы хотите 3.2 возвести в степень 4.3

(3/4 + sqrt(5/7)) * pow(2, 4)

Сервис интерполяции и экстраполяции онлайн (линейная интерполяция/экстраполяция) поможет вам вычислить значение линейной функции, имея в распоряжении f(x) в двух различных точках, а также рассчитает уравнение прямой. Данный сервис автоматически определит нужный способ расчета — вам лишь надо ввести значения в двух произвольных точках, и указать необходимую точку, в которой нужно рассчитать значение. Если установить «галку» внутри кнопки «Рассчитать», калькулятор будет рассчитывать значение автоматически при любом изменении входных данных.

Решение задач: Интерполяция таблично-заданных функций

Пример расчета интерполяции

Интерполяция — (от латинского interpolatio изменение, переделка), в математике и статике это способ вычислить промежуточное значение функции по нескольким уже известным ее значениям. Например.: Имеется функция f(x), известны результаты значения f(x) в точке x0 и точке x2, интерполяця помогает найти значение f(x1) при условии что x1 принадлежит интервалу от x0 до x2. Если x1 лежит вне интервала (x0, x2), интерполяция не поможет, для этого нужно использовать «экстраполяцию». Этот метод часто называют «линейная интерполяция«, он дает 100% верный результат для уравнения прямой. Для вычесления резултата функций с двумя переменными существует «Билинейная интерполяция (Двойная интерполяция)». Также для рассчета интерполяции можно воспользоваться сервисом Интерполяция — полином Ньютона и Интерполяция — полином Лагранжа

Экстраполяция — в математике и статике это способ вычислить значение функции по нескольким уже известным ее значениям.

Например.: Имеется функция f(x), известны результаты значения f(x) в точке x1 и точке x2, экстраполяция помогает найти значение f(x0) либо f(x3) при условии что x0 либо x3 меньше либо больше интервала x1 до x2. Если xn лежит в интервале (x1, x2), экстраполяция не поможет, для того вам нужно использовать «интерполяцию» — для функций с одной переменной, и «двойная интерполяция» — для функций с двумя переменными.

Этот метод часто называют «линейная экстраполяция«, он дает 100% верный результат для уравнения прямой.

Как для интерполяции так и для экстраполяции в основе их рассчета лежит пропорция (y1 — y0)/(y2 — y0) = (x1 — x0)/(x2 — x0), прирощение значения в первой точке к прирощению значения во второй точке относится также как прирощение переменной в первой точке к прирощению переменной во второй точке (все относительно нулевой точки отсчета), из этой пропорции легко получить формулу рассчета любого значения

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *