Международная олимпиада по математике

The International Mathematical Olympiad (IMO) is the World Championship Mathematics Competition for High School students and is held annually in a different country. The first IMO was held in 1959 in Romania, with 7 countries participating. It has gradually expanded to over 100 countries from 5 continents. The IMO Board ensures that the competition takes place each year and that each host country observes the regulations and traditions of the IMO.

The IMO Foundation is a charity which supports the IMO. The IMO Foundation website is the public face of the IMO. This is a particularly valuable resource for people who are not necessarily mathematical specialists, but who want to understand the International Mathematical Olympiad.

Data is held at IMO-official in compliance with EU data protection legislation. If a participant wishes to become anonymous (neither photo nor name on public display), then contact the IMO secretary with a request. We will comply with bona fide requests expeditiously.


Supported by Google

Операторы цикла с постусловием

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Контрольные вопросы:

1. Как называется цикл, где сначала выполняется оператор, затем проверяется условие?

2. Сколько операторов можно записать между ключевыми словами repeat и until?

3. Какой тип имеет выражение в операторе цикла с постусловием?

4. Почему в цикле с постусловием тела цикла выполняется хотя бы один раз?

 

Задачи:

1. Дана числовая последовательность: . Найти сумму отрицательных элементов при . (ответ: -1644128).

2. Дана числовая последовательность: . Найти сумму отрицательных элементов при . (ответ: -0,0346789).

3. Дана числовая последовательность: . Найти сумму отрицательных элементов при . (ответ: -128846,8).

4. Дана числовая последовательность: . Найти произведение членов последовательности от пятого до двадцать пятого. (ответ: 1,555535Е-32).

5. Дана числовая последовательность: .

Международная олимпиада по Математике

Найти сумму первых пятидесяти членов. (ответ: 3,5158813).

6. После каждого движения поршня разряжающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося там газа. Сколько движений поршня нужно сделать, чтобы достичь давления при начальном давлении ? (ответ: при =1 и =100потребуется 21 движение поршня).

7. Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду находится один шар, во втором- два, в третьем- три и так далее. Сколько рядов удастся построить, если имеется шаров? (ответ: при =105 будет построено 14 рядов).

8. Спортсмен в первый день пробежал 10 км. Каждый следующий день он увеличивал дневную норму на 10% от результата предыдущего дня. Найти какой путь пробежит спортсмен в 7-й день? (ответ:17,71561 км).

9. Сколько чисел нужно взять в последовательности 1+2+3+4+…, чтобы получить число, больше чем ? (при =252 нужно взять 23 числа).

10. Найти наибольшее число вида , меньшее m, где . (ответ: при =0,5, =2).

11. Вычислить наибольшее целое положительное число , удовлетворяющее условию: (ответ: =42).

12. Найти натуральное число, которое в пять раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел (ответ: число 11).

13. Найти натуральное число, которое равно сумме предшествующих ему натуральных чисел (ответ: число 3).

14. Для данного числа найти такое натуральное , для которого и (ответ: для ).

15. Спортсмен в первый день пробежал 10 км. Каждый следующий день он увеличивал дневную норму на 10% от результата предыдущего дня. Найти через сколько дней спортсмен пробежит суммарный путь более 100 км? (ответ: через 8 дней).

16. Вычислить наибольшее целое положительное число , удовлетворяющее условию: (ответ: =411).

17. Дана числовая последовательность: . Найти сумму членов последовательности с десятого по тридцатый включительно (ответ: -2543,513).

18. Дана числовая последовательность: . Члены последовательности с четными номерами заменили на обратные им числа (5 на –5). Найти сумму членов последовательности с десятого по тридцать первый включительно (ответ: 33).

19. Написать программу, вычисляющую сумму и среднее арифметическое последовательности положительных чисел, которые вводится с клавиатуры (ответ: при 45, 23, 15 сумма чисел: 83, среднее арифметическое: 27,67).

20. Написать программу, которая определяет максимальное число из введенной с клавиатуры последовательности положительных чисел (ответ: при 56,75,43,0 максимальное число: 75).

 

Литературы:

Основная литература:

1. Абрамов В.Г., Трифонов Н.П., Трифонова Г.Н. Введение в язык Паскаль. — М.: Наука, 1988. — 320 с.

2. Абрамов С.А., Зима Е.В. Начала программирования на языке Паскаль. — М.: Наука, 1987. — 112 с.

3. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных./Пер. с англ. М.: Мир, 1989. — 360 с.

4. Грогоно П. Программирование на языке Паскаль. — М.: Мир, 1982. — 382 с.

5. Дантеманн Дж., Мишел Дж., Тейлор Д. Программирование в среде Delphi: Пер. с англ. — Киев: НИПФ “ДиаСофтЛтд.”, 1995. — 608 с.

6. Епанешников Фолкнер Д.Р. Delphi: Пер.с англ.- М.: БИНОМ, 1995. — 464 с.

7. Орлик С.В. Секреты Delphi на примерах: — М.: БИНОМ. — 316 с.

Дополнительная литература:

1. Перминов О.Н. Программирование на языке Паскаль. — М.: Радио и связь, 1988. — 224 с.

2. Пильшиков В.Н. Сборник упражнений по языку Паскаль: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука, 1989. — 160 с.

3. Прайс Д. Программирование на языке Паскаль: Практ. руководство. — М.: Мир, 1987. — 232 с.

4. Рубенкинг Н. Турбо Паскаль для Windows: В 2 т.; Пер. с англ. — М.: Мир, 1993. — 536 с.

5. Фаронов В.В. Турбо Паскаль. В 3-х книгах. Книга 1. Основы Турбо Паскаля. — М.: Учеб.-инж.центр МВТУ-ФЕСТО ДИДАКТИК, 1992. — 304 с.

6. Фаронов В.В. Паскаль и Windows. — М.: Учеб.-инж.центр МВТУ-ФЕСТО ДИДАКТИК, 1994. — 539 с.

 

Методические указания:

На Паскале опретор цикла с постусловием записывается следующим образом: repeat <оператор> until <условие>.

При переводе означает: повторять что-то пока не выполнилось условие. Под обозначением <оператор> здесь понимается либо одиночный, либо последовательность операторов, разделённых точкой с запятой.

Цикл работает следующим образом: выполняется оператор, затем проверяется условие, если оно пока еще не выполнилось, то оператор выполняется вновь, затем проверяется условие, и т. д. Когда условие, наконец, станет истинным выполнение оператора, расположенного внутри цикла, прекратится, и далее будет выполняться следующий за циклом оператор. Под условием, вообще говоря, понимается выражение логического типа.

Пример (подсчет суммы натуральных чисел от 1 до 100):

var i,sum: integer;

begin

sum:=0; i:=0;

repeat

i:=i+1;

sum:=sum+i;

until i=100;

writeln(‘сумма=’,sum);

readln;

end.

Важно заметить, что операторы стоящие внутри цикла repeat (иначе – в теле цикла) выполняются хотя бы один раз (только после этого проверяется условие выхода).

Решение одного варианта:Написать программу, вычисляющую сумму и среднее арифметическое последовательности положительных чисел.

 

Блок-схема:   Описание блок-схемы:1-блок – начало алгоритма 2-блок – начальное значение суммы S=0 3-блок – N-количество чисел, удовлетворяющих заданному условию. Если мы хотим узнать количество таких чисел, то естественно мы должны ввести переменную, которая изначально равна 0 и увеличивается каждый раз, как только встретилось положительное число 4-блок – ввод чисел (а) 5-блок – сумма постепенно накапливается 6-блок — количество чисел, увеличивается на 1 каждый раз, как только встречается положительное число. 7-блок – дальнейшей ход алгоритма зависит от заданного условия 8-блок – Мы должны уменьшить N на единицу, чтобы получить точное количество положительных чисел, так как условие не выполняется 9-блок – вычисляется среднее арифметическое число по формуле M=S/n 10-блок – печать полученного результата 11-блок – конец алгоритма

program pr1;

var a: integer;

n: integer;

S: integer;

m: real;

begin

write (‘введите числа’);

S:=0;

n:=0;

repeat

readln (a);

S:=S+a;

n:=n+1;

until a<=0;

n:=n-1;

writeln (‘сумма чисел:’,S);

m:=S/n;

writeln (‘среднее арифм:’,m:6:2);

end.

 

Лабораторная работа №6


⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒


Дата добавления: 2017-02-25; просмотров: 137 | Нарушение авторских прав


Похожая информация:


Поиск на сайте:


Международная олимпиада по математике с решением и ответами.

Задача 1.

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, Ap – высота.
Докажите, что если  ∠ BCA ≥  ∠ ABC + 30, то  ∠ CAB +  ∠ COp < 90.

Решение:

Решение 1.

Пусть  α  =  ∠ CAB,  β  =  ∠ ABC,  γ  =  ∠ BCA и  δ  =  ∠ COp.
Пусть точки K и p симметричны точкам A и p соответственно относительно серединного перпендикуляра к отрезку BC. Обозначим через R радиус описанной окружности  ∆ ABC.
Тогда OA = OB = OC = OK = R. Кроме того, Qp = KA, поскольку KQpA – прямоугольник.
Теперь заметим, что  ∠ AOK =  ∠ AOB –  ∠ KOB =  ∠ AOB –  ∠ AOC = 2 γ  – 2 β  ≥ 60 и, учитывая, что OA = OK = R, получим KA ≥ R и Qp ≥ R.
По неравенству треугольника Op + R = OQ + OC > QC = Qp + pC ≥ R + pC.
Отсюда следует, что Op > pC и, значит, в  ∆ COp  ∠ pOC >  δ . Поскольку  α  = ½ ∠ BOC = ½(180 – 2 ∠ pCO), то действительно  ∠  α  +  ∠  δ  < 90.

Решение 2

Как и в предыдущем решении, достаточно показать, что Op > pC.
Вспомним, что по теореме синусов AB = 2R sin  γ  и AC = 2R sin  β .
Отсюда получаем: Bp – pC = AB cos  β  – AC cos  γ  = 2R( sin  γ  cos  β  –  sin  β  cos  γ ) = 2R sin ( γ  –  β ). Учитывая, что 30 ≤  γ  –  β  <  γ  < 90, видим, что Bp – pC ≥ R.
Значит R + Op = BO + Op > Bp ≥ R + pC, откуда Op > OC, что и требовалось.

Решение 3

Сначала докажем, что R² > Cp • CB. Для этого, поскольку CB = 2R sin  α  и Cp = AC cos  γ , достаточно показать, что ¼ >  sin  α  sin  β  cos  γ .
Заметим, что 1 >  sin  α  =  sin ( γ  +  β ) =  sin  γ  cos  β  +  sin  β  cos  γ  и ½ ≤  sin ( γ  –  β ) =  sin  γ  cos  β  –  sin  β  cos  γ , поскольку 30 ≤  γ  –  β  < 90.
Отсюда следует, что ¼ >  sin  β  cos  γ  и ¼ >  sin  α  sin  β  cos  γ .
Теперь отметим точку J на BC так, что CJ • Cp = R². Тогда CJ > CB (поскольку R² > Cp • CB), поэтому  ∠ OBC >  ∠ OJC.
Из того, что OC/CJ = pC/CO и  ∠ JOC =  ∠ OCp, следует, что  ∆ JCO подобен  ∆ OCp и  ∠ OJC =  ∠ pOC =  γ .
Значит  δ  <  ∠ OBC = 90 –  α , то есть  α  +  δ  < 90.


Задача 2.

Докажите, что

для всех положительных вещественных чисел a, b и c.

Решение:

Сначала докажем, что

или, что то же самое,

По неравенству о средних

Отсюда

значит

точно также

и

Сложив эти три неравенства, получим:

Комментарий.

Можно доказать, что для любых a,b,c > 0 и  λ  ≥ 8 выполняется следующее неравенство:


Задача 3.

Двадцать одна девочка и двадцать один мальчик принимали участие в математическом конкурсе.

  • Каждый участник решил не более шести задач.
  • Для любых девочки и мальчика найдётся хотя бы одна задача, решённая обоими.

Докажите, что была задача, которую решили не менее трёх девочек и не менее трёх мальчиков.

Решение:

Предположим, что нашлась задача, которую решили не более двух девочек или не более двух мальчиков.
Будем считать задачу «красной», если её решили не более двух девочек и «чёрной» в противоположном случае (тогда её решили не более двух мальчиков).
Представим шахматную доску с 21-й строкой, каждая из которых соответствует девочке, и 21-м столбцом, каждый из которых соответствует мальчику.
Тогда каждая клетка соответствует паре «мальчик–девочка». Каждую клетку покрасим в цвет какой-нибудь задачи, которую решили и мальчик-строка и девочка-столбец.
По принципу Дирихле в каком-нибудь столбце найдётся 11 чёрных клеток, или в какой-нибудь строке найдутся 11 красных клеток (потому что иначе получится, что всего клеток не более чем 21 • 10 + 21 • 10 < 21²).
Рассмотрим, например, девочку-строку, содержащую хотя бы 11 чёрных клеток.

Представление сборной России. Международная математическая олимпиада

Каждой из этих клеток соответствует задача, решённая максимум двумя мальчиками.
Тогда мы можем указать не менее 6 различных задач, решённых этой девочкой. В силу первого условия никаких других задач девочка не решала, но тогда максимум 12 мальчиков имеют общие решённые задачи с этой девочкой, что противоречит второму условию.
Точно также разбирается случай, если в каком-нибудь столбце найдутся 11 красных клеток.


Задача 4.

Пусть N – нечетное натуральное число большее 1, а k1, k2,…kn – произвольные целые числа. Для каждой из n! перестановок a = (a1,a2, … ,an) чисел 1, 2,…n, обозначим

Докажите, что найдутся две такие перестановки b и c (b ≠ c), что n! является делителем S(b) – S(c).

Решение:

Пусть  ∑ S(a) – сумма S(a) по всем n! перестановкам a = (a1,a2, … an). Мы вычислим  ∑ S(a) двумя способами и достигнем противоречия в случае, если n нечётно.

Первый способ. В  ∑ S(a) число k1 умножается на каждое i ∈ 1, … ,n всего (n – 1)! раз, по одному на каждую перестановку 1,2, … n, в которой a1 = i. Поэтому коэффициент при k1 в  ∑ S(a) равен (n – 1)!(1 + 2 +  …  + n) = (n + 1)!/2. Это верно для всех ki, поэтому

Второй способ. Если n! не является делителем S(b) – S(c) для любого b ≠ c, то все суммы S(a) должны иметь различные остатки при делении на n!.
Поскольку всего перестановок n!, эти остатки в точности равны 0, 1, …, n! – 1.
Поэтому

Таким образом

Но для нечётных n левая часть этого сравнения сравнима с 0 по модулю n!, в то время как при n > 1 правая часть не может быть сравнима с 0 (поскольку n! – 1 нечётно).
Мы получили противоречие для всех нечётных n > 1.


Задача 5.

В треугольнике ABC проведена биссектрисы Ap и BQ. Известно, что  ∠ BAC = 60 и что AB + Bp = AQ + QB. Какими могут быть углы треугольника ABC?

Решение:

Обозначим углы треугольника ABC через  α  =  ∠ A = 60,  β  =  ∠ B и  γ  =  ∠ C. Продолжим сторону AB до точки p′ так, чтобы Bp′ = Bp и построим точку p′ на AQ так, чтобы Ap′ = Ap′. Тогда Bp′p – равнобедренный треугольник с углами при основании равными  β /2. Поскольку AQ + Qp′ = AB + Bp′ = AB + Bp = AQ + QB, отсюда следует, что Qp′ = QB. Учитывая, что  ∆ Ap′p′ равносторонний, а Ap – биссектриса угла A, получаем, что pp′ = pp′.

Докажем, что точки B, p и p′ лежат на одной прямой (а, значит, точка p′ совпадает с точкой C. Предположим, что это не так, то есть  ∆ Bpp′ – невырожденный. Тогда  ∠ pBQ =  ∠ pp′B =  ∠ pp′Q =  β /2, а  ∠ Qp′B =  ∠ QBp′. Значит  ∠ pp′B =  ∠ pBp′, то есть Bp = pp′. Тогда треугольник Bpp′ – равносторонний, но из этого следует, что  β /2 = 60, и, значит,  α  +  β  = 60 + 120 = 180. Противоречие.

Поскольку треугольник BCQ равнобедренный, то 120 –  β  =  γ  =  β /2, поэтому  β  = 80 и  γ  = 40.


Задача 6.

Пусть a, b, c, d – целые числа такие, что a > b > c > d > 0. Предположим, что ac + bd = (b + d + a – c)(b + d – a + c). Докажите, что число ab + cd составное.

Решение:

Предположим, что число ab + cd – простое. Заметим, что ab + cd = (a + d)c + (b – c)a = m •  НОД (a + d,b – c) дл некоторого натуральго m. По предположению или m = 1 или  НОД (a + d,b – c) = 1. Рассмотрим эти варианты по-очереди.

1 случай: m = 1. Тогда

что неверно.

2 случай:  НОД (a + d,b – c) = 1. Подставляя ac + bd = (a + d)b – (b – c)a в левую часть равенства ac + bd = (b + d + a – c)(b + d – a + c), получаем (a + d)(a – c – d) = (b – c)(b + c + d).

Ввиду этого, найдётся такое натуральное число k, что

Складывая эти равенства, получаем, что a + b = k(a + b – c + d) и, следовательно, k(c – d) = (k – 1)(a + b). Вспомним, что a > b > c > d. Если k = 1, то c = d – противоречие. Если k ≥ 2, то

противоречие.

В обоих случаях достигнуто противоречие, значит число ab + cd составное.

Международная олимпиада школьников «Туймаада» по математике, физике, химии и информатике в рамках Международных интеллектуальных игр

 

1. Общее

1.1. Основными целями и задачами Олимпиады являются стимулирование развития интеллектуального потенциала школьников и молодежи, привлечение к занятию фундаментальными науками, расширение форм международного сотрудничества и общения.

1.2. Ответственный организатор определяется в соответствии с приказом Министерства образования и науки Республики Саха (Якутия).

1.3. Ответственный организатор формирует состав Организационной группы по подготовке и проведению Олимпиады (далее – Орггруппа), состав экспертной группы (далее – Эксперты) и вносит на утверждение в Министерство образования и науки Республики Саха (Якутия).

1.4. Участие в Олимпиаде принимают команды в соответствии с Положением МИИ.

1.5. Результаты Олимпиады оценивают Эксперты.

1.6. Рабочим языком Олимпиады является английский язык.

 

2. Руководство проведением Олимпиады

2.1. Общее руководство подготовкой и проведением Олимпиады осуществляет Орггруппа.

2.2. Полномочия Орггруппы:

  • обеспечивает условия для проведения Олимпиады;
  • организует награждение победителей и призеров Олимпиады;
  • анализирует и обобщает итоги Олимпиады и представляет отчет Министерству образования и науки Республики Саха (Якутия).

2.3. Полномочия Экспертов:

  • разрабатывают тексты олимпиадных заданий;
  • определяют критерии оценивания выполненных работ;
  • осуществляют разбор заданий, показ работ;
  • решают спорные вопросы (апелляция), возникающие в процессе проведения Олимпиады;
  • составляют итоговый рейтинг участников и соответствующий протокол итогов Олимпиады;
  • определяют победителей и призеров Олимпиады.

 

3. Условия участия в Олимпиаде

Команда участвует в Олимпиаде в соответствии с Положением МИИ.

 

4. Порядок проведения Олимпиады

4.1.Олимпиада по математике, физике, химии проводится по двум возрастным группам обучающихся:

  • младшая лига – обучающиеся, окончившие в текущем году 9 (или меньше) классов;
  • старшая лига – обучающиеся, окончившие в текущем году 10-12 классы. В старшей лиге могут участвовать по желанию и более младшие участники.

Олимпиада по информатике на лиги не делится.

4.2. Олимпиада в старшей лиге и по информатике проводится по заданиям, соответствующим программам официальных Международных олимпиад.

4.3. Олимпиада в младшей лиге проводится по заданиям творческого характера, соответствующим образовательной программе основного общего образования общеобразовательных организаций Российской Федерации.

4.4. Структура Олимпиады:

4.4.1. Олимпиада по математике проводится в течение двух дней. Участники в день решают по четыре задачи за 5 астрономических часов.

4.4.2. Олимпиада по физике проводится в два тура: теоретический и экспериментальный. Длительность каждого тура — 5 астрономических часов.

4.4.3. Олимпиада по химии состоит из двух туров: теоретического и экспериментального. Длительность каждого тура — 5 астрономических часов.

4.4.4.

Международная математическая олимпиада

Олимпиада по информатике состоит из двух туров, проводимых два дня. В каждом туре участникам предлагается решить три или четыре задачи в течение 5 астрономических часов. Каждому участнику предоставляется компьютер.

 

5. Подведение итогов, награждение победителей и призеров

5.1. Победители и призеры определяются по количеству набранных баллов.

5.2. Победители определяются по каждому предмету в младшей и старшей лигах. Отдельно определяется абсолютный победитель Олимпиады, набравший наибольшее суммарное количество баллов по всем предметам.

5.3. Призерами Олимпиады признаются участники Олимпиады, следующие в итоговой таблице за победителями. В случае, когда у участника, определяемого в пределах установленной квоты в качестве призера, оказывается количество баллов такое же, как и у следующих за ним в итоговой таблице, решение по данному участнику и всем участникам, имеющим с ним равное количество баллов, определяется Экспертами.

5.4. Апелляция проводится Экспертами на основании письменного заявления команды и проходит в тот же день, не позднее 3 часов после подведения итогов Олимпиады. При рассмотрении апелляции оценка по спорному вопросу может быть повышена, оставлена прежней и понижена в случае обнаружения ошибки, незамеченной при первоначальной проверке. Результаты апелляции фиксируются в протоколе.

5.5. Всем участникам Олимпиады вручаются сертификаты за  участие Олимпиады. Всем руководителям команд вручается сертификат руководителя команды. Победители и призеры Олимпиады награждаются медалями, дипломами и призами.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *