Мнимые числа — это… Что такое Мнимые числа?

.

Комплексные числа всегда меня занимали. Как и с понятием экспоненты, большинство определений подпадали под одну из двух категорий:

  • это математическая абстракция, всё упирается в формулы. Смиритесь.
  • это используется в продвинутой физике, поверьте. Просто дождитесь университета.

Какой хороший способ привлечь деток к математике! Сегодня мы возьмем эту тему штурмом, используя наши любимые инструменты:

  • Будем основываться на связях, а не на механических формулах.
  • Рассмотрим комплексные числа как дополнение к нашей системе счисления, такому же, как ноль, дробные или отрицательные числа.
  • Визуализируем идеи в графиках, чтобы лучше понять суть, а не просто изложим сухим текстом.

И наше секретное оружие: изучение по аналогии. Мы доберемся до комплексных чисел, начав с их предков, отрицательных чисел. Вот вам небольшое руководство:

Пока что смысла в этой таблице мало, но пусть она будет рядом. К концу статьи всё станет на свои места.

Давайте действительно поймем, что такое отрицательные числа

Отрицательные числа не так просты. Представьте, что вы — европейский математик в XVIII веке. У вас есть 3 и 4, и вы можете написать 4 – 3 = 1. Всё просто.

Но сколько будет 3 – 4? Что, собственно, это означает? Как можно отнять 4 коровы от 3? Как можно иметь меньше, чем ничего?

Отрицательные числа рассматривались как полная чушь, что-то, что «бросало тень на всю теорию уравнений» (Фрэнсис Масерес, 1759). Сегодня было бы полной чушью думать об отрицательных числах, как о чем-то нелогичном и неполезном. Спросите вашего учителя, нарушают ли отрицательные числа основы математики.

Что же произошло? Мы изобрели теоретическое число, которое обладало полезными свойствами. Отрицательные числа нельзя потрогать или ощутить, но они хорошо описывают определенные связи (как задолженность, например). Это очень полезная выдумка.

Вместо того, чтобы сказать «Я должен вам 30», и читать слова, чтобы понять в плюсе я или в минусе, я могу просто записать «-30», и знать, что это означает. Если я заработаю деньги и оплачу свои долги (-30 + 100 = 70), я смогу легко записать эту транзакцию несколькими символами. У меня останется +70.

Знаки плюса и минуса автоматически фиксируют направление — вам не нужно целое предложение, чтобы описать изменения после каждой транзакции. Математика стала проще, элегантнее. Стало не важно, являются ли отрицательные числа «осязаемыми» — у них есть полезные свойства, и мы пользовались ими, пока они крепко не вошли в наш обиход. Если кто-то из ваших знакомых еще не понял суть отрицательных чисел, теперь вы ему поможете.

Но не будем умалять человеческие страдания: отрицательные числа были настоящим сдвигом в сознании. Даже Эйлер, гений, открывший число е и много еще чего, не понимал отрицательные числа так же хорошо, как мы сегодня. Они рассматривались как «бессмысленные» результаты вычислений.

Странно требовать от детей, чтобы они спокойно понимали идеи, которые когда-то смущали даже самых лучших математиков.

Ввод мнимых чисел

С мнимыми числами та же история. Мы можем решать уравнения вроде этого целыми днями:

Ответами будут 3 и -3. Но представим, что какой-то умник приписал сюда минус:

Ну и ну. Такой вопрос заставляет людей съеживаться, первый раз видя его. Вы хотите вычислить квадратный корень из числа, меньшего, чем ноль? Это немыслимо! (Исторически реально существовали подобные вопросы, но мне удобнее представлять какого-то безликого умника, чтобы не вгонять в краску ученых прошлого).

Выглядит безумно, как в свое время выглядели и отрицательные числа, ноль и иррациональные числа (неповторяющиеся числа). В этом вопросе нет «реального» смысла, правда?

Нет, не правда. Так называемые «мнимые числа» нормальны настолько же, как и все другие (или настолько же ненормальные): они являются инструментом для описания мира. В том же духе, как мы представляем, что -1, 0.3 и 0 «существуют», давайте предположим, что существует некое число i, где:

Другими словами, вы умножаете i на себя же, чтобы получить -1. Что сейчас происходит?

Ну, сначала у нас конечно болит голова. Но, играя в игру «Давайте представим, что i существует», мы действительно делаем математику проще и элегантнее. Появляются новые связи, которые мы с легкостью можем описать.

Вы не поверите в i, как и те старые математики-ворчуны не верили в существовании -1. Все новые, сворачивающие мозг в трубочку понятия сложны для восприятия, и их смысл вырисовывается не сразу, даже для гениального Эйлера. Но, как показали нам отрицательные числа, странные новые идеи могут быть чрезвычайно полезными.

Я не люблю сам термин «мнимые числа» — такое чувство, что он был выбран специально, чтобы оскорбить чувства i. Число i такое же нормальное, как и другие, но за ним закрепилась кличка «мнимое», так что мы тоже будем ей пользоваться.

Визуальное понимание отрицательных и комплексных чисел

Уравнение x^2 = 9 на самом деле означает следующее:

или

Какое преобразование x, применяемое дважды, превращает 1 в 9?

Есть два ответа: «x = 3» и «x = -3». То есть, вы можете «масштабировать в» 3 раза или «масштабировать в 3 раза и перевернуть» (переворачивание или взятие обратного результата — всё это интерпретации умножения на отрицательную единицу).

А теперь давайте подумаем об уравнении x^2 = -1, которое можно записать так:

Какое преобразование x, применяемое дважды, превращает 1 в -1? Хм.

  • Мы не можем умножить дважды положительное число, потому что результат будет положительным.
  • Мы не можем умножить дважды отрицательное число, потому что результат опять будет положительным.

А как насчёт… вращения! Звучит, конечно, необычно, но что если представить х как «поворот 90 градусов», тогда применив х дважды, мы совершим поворот на 180 градусов на координатной оси, и 1 обернется в -1!

Вот это да! И если мы еще немного над этим поразмышляем, то мы можем совершить два оборота в противоположном направлении, и также перейти с 1 на -1. Это «отрицательное» вращение или умножение на -i:

Если мы дважды умножим на-i, то при первом умножении получим -i из 1, а при втором -1 из -i. Так что на самом деле существует два квадратных корня -1: i и -i.

Это довольно круто! У нас есть что-то вроде решения, но что оно означает?

  • i — это «новая мнимая размерность» для измерения числа
  • i (или -i) — это то, чем «становятся» числа при вращении
  • Умножение на i — это вращение на 90 градусов против часовой стрелки
  • Умножение на -i — это вращение на 90 градусов по часовой стрелке.
  • Двойное вращение в любом из направлений дает -1: оно опять возвращает нас к «обычной» размерности положительных и отрицательных чисел (ось x).

Все числа 2-мерные. Да, это трудно принять, но древним римлянам было бы также трудно принять десятичные дроби или деление в столбик. (Как это так, между 1 и 2 есть еще числа?).

Выглядит странно, как и любой новый способ мыслить в математике.

Мы спросили «Как превратить 1 в -1 в два действия?» и нашли ответ: повернуть 1 на 90 градусов дважды. Довольно странный, новый способ мыслить в математике. Но очень полезный. (Между прочим, эта геометрическая интерпретация комплексных чисел появилась только десятилетия спустя после открытия самого числа i).

Также, не забывайте, что принятие оборота против часовой стрелки за положительный результат — это сугубо человеческая условность, и всё могло бы быть совсем по-другому.

Поиск множеств

Давайте углубимся немного в детали. При умножении отрицательных чисел (как -1), вы получаете множество:

  • 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

Поскольку -1 не меняет размер числа, а только знак, вы получаете одно и то же число то со знаком «+», то со знаком «-». Для числа х у вас получится:

Это очень полезная мысль. Число «х» может представлять хорошие и плохие недели. Представим, что хорошая неделя сменяет плохую; это хорошая неделя; а какой будет 47-я неделя?

-x означает, что неделя выдастся плохой. Видите, как отрицательные числа «следят за знаком» — мы можем просто ввести (-1)^47 в калькуляторе вместо того, чтобы считать («Неделя 1 хорошая, неделя 2 плохая… неделя 3 хорошая…»). Вещи, которые постоянно чередуются можно отлично смоделировать, используя отрицательные числа.

Хорошо, а что будет, если мы продолжим умножать на i?

Очень смешно, давайте немного это всё упростим:

Вот всё то же представлено графически:

Мы повторяем цикл каждый 4-й поворот. В этом определенно есть смысл, да? Любой ребенок скажет вам, что 4 поворота влево — это всё равно, что не поворачиваться вовсе. А теперь оторвитесь от мнимых чисел (i, i^2)и посмотрите на общее множество:

  • X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

Точно, как отрицательные числа моделируют зеркальное отражение чисел, мнимые числа могут моделировать что угодно, что вращается между двумя измерениями «Х» и «Y». Или что угодно с циклической, круговой зависимостью — есть что-нибудь на примете?

Понимание комплексных чисел

Есть еще одна деталь для рассмотрения: может ли число быть и «реальным», и «мнимым»?

Даже не сомневайтесь. Кто сказал, что нам обязательно нужно поворачивать строго на 90 градусов? Если мы одной ногой станем на «реальную» размерность, а другой — на «мнимую», то будет выглядеть примерно так:

Мы находимся на отметке в 45 градусов, где вещественная и мнимая части одинаковы, и само число равно «1 + i». Это как хот-дог, где есть и кетчуп, и горчица — кто сказал, что нужно обязательно выбирать что-то одно?

По сути, мы можем выбрать любую комбинацию вещественной и мнимой части и сделать из всего этого треугольник. Угол становится «углом вращения».

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей.

Комплексное число — это заумное название для чисел, в которых есть вещественная и мнимая части. Они пишутся, как «a + bi», где:

  • a — вещественная часть
  • b — мнимая часть

Неплохо. Но остается один последний вопрос: как «велико» комплексное число?

Мы не можем измерить вещественную часть или мнимую отдельно, потому что мы упустим общую картину.

Давайте сделаем шаг назад. Размер отрицательного числа — это расстояние от нуля:

Это другой способ найти абсолютную величину. Но как измерить оба компонента на 90 градусах для комплексных чисел?

Это птица в небе… или самолет… Пифагор спешит на помощь!

Эта теорема выскакивает, где только можно, даже в числах, придуманных через 2000 лет после самой теоремы. Да, мы делаем треугольник, и его гипотенуза и будет равна расстоянию от нуля:

Хоть измерить комплексное число не так просто, как «просто опустить знак -», у комплексных чисел есть очень полезные применения. Давайте рассмотрим некоторые из них.

Реальный пример: Вращения

Мы не будем дожидаться университетского курса физики, чтобы попрактиковаться с комплексными числами. Мы займемся этим уже сегодня. Много можно рассказать на тему умножения комплексных чисел, но пока нужно понять главное:

  • Умножение на комплексное число совершает вращение на его угол

Давайте посмотрим, как это работает. Представьте, что я на лодке, движусь с курсом 3 единицы на Восток каждые 4 единицы на Север. Я хочу изменить свой курс на 45 градусов против часовой стрелки. Каким будет мой новый курс?

Кто-то может сказать «Это просто! Вычислите синус, косинус, погуглите значение по тангенсу…и тогда…» Кажется, я сломал свой калькулятор…

Давайте пойдем более простым путем: мы идем по курсу 3 + 4i (не важно, какой тут угол, нам всё равно пока) и хотим повернуться на 45 градусов. Ну, 45 градусов это 1 + i (идеальная диагональ). Так что мы можем умножить наш курс на это число!

Вот в чем суть:

  • Исходный курс: 3 единицы на Восток, 4 единицы на Север = 3 + 4i
  • Вращение против часовой стрелки на 45 градусов = умножение на 1 + i

При умножении мы получаем:

Наш новый ориентир — 1 единица на Запад (-1 на Восток) и 7 единиц на Север, можете нарисовать координаты на графике и следовать им.

Но! Мы нашли ответ за 10 секунд, без всяких синусов и косинусов. Не было векторов, матриц, отслеживания, в каком квадранте мы находимся. Это была простая арифметика и немного алгебры для приведения уравнения. Мнимые числа отлично справляются с вращением!

Более того, результат такого вычисления очень полезен. У нас есть курс (-1, 7) вместо угла (atan(7/-1) = 98.13, и сразу ясно, что мы во втором квадранте. Как, собственно, вы планировали нарисовать и следовать указанному углу? Используя транспортир под рукой?

Нет, вы бы конвертировали угол в косинус и синус (-0.14 и 0.99), нашли бы примерное соотношение между ними (около 1 к 7) и набросали бы треугольник. И тут комплексные числа несомненно выигрывают — аккуратно, молниеносно, и без калькулятора!

Если вы похожи на меня, то это открытие покажется вам сногсшибательным. Если нет, боюсь, что математика вас совсем не зажигает. Уж извините!

Тригонометрия хороша, но комплексные числа значительно упрощают вычисления (вроде поиска cos(a + b)). Это только маленький анонс; в следующих статьях я предоставлю вам полное меню.

Лирическое отступление: некоторые люди думают примерно так: «Эй, ну не удобно же иметь курс Север/Восток вместо простого угла для следования судна!»

Правда? Ну хорошо, посмотрите на свою правую руку. Какой угол между основанием вашего мизинца и кончиком указательного пальца? Удачи с вашим способом вычисления.

А можно просто ответить «Ну, кончик находится на Х дюймов вправо и Y дюймов вверх» и с этим уже можно что-то сделать.

Комплексные числа стали ближе?

Мы пронеслись смерчем по моим базовым открытиям в области комплексных чисел. Посмотрите на самую первую иллюстрацию, теперь он должен стать более понятным.

Есть еще столько всего интересного в этих красивых, чудных числах, но мой мозг уже устал. Моя цель была проста:

  • Убедить вас в том, что комплексные числа только рассматривались как «сумасшествие», а на деле они могут быть очень полезными (точно как и отрицательные числа)
  • Показать, как комплексные числа могут упростить некоторые задачи вроде вращения.

Если я кажусь слишком озабоченным этой темой, то для этого есть причина. Мнимые числа годами были моей навязчивой идеей — недостаток понимания меня раздражал.

Сейчас я наконец-то дошел до этого долгожданного понимания, и мне не терпелось поделиться с вами. Но меня по-прежнему злит, что вы знакомитесь с этими замечательными, несложными приемами понимания в блоге какого-то безумного лунатика, а не в классе на уроке математики. Мы душим в себе вопросы и «пыхтим» над непонятными вещами, потому что не хотим искать, находить и делиться чистыми, абсолютно логичными объяснениями.

Но зажечь свечу лучше, чем пробираться сквозь кромешную тьму: вот мои мысли, и я уверен, что огонек зажжется и в умах моих читателей.

Эпилог: Но они по-прежнему довольно странные!

Я знаю, они и для меня всё еще выглядят странными.

Я пытаюсь мыслить, как мыслил первый человек, открывший ноль.

Ноль — это такая странная идея, «что-то» представляет «ничего», и это никак не могли понять в Древнем Риме. То же самое и с комплексными числами — это новый способ мышления. Но и ноль, и комплексные числа значительно упрощают математику. Если бы мы никогда не внедряли странности вроде новых систем счисления, мы бы до сих пор считали всё на пальцах.

Я повторяю эту аналогию, потому что так легко начать думать, что комплексные числа «не нормальные». Давайте быть открытыми к новшествам: в будущем люди будут только шутить над тем, как кто-то вплоть до XXI века не верил в комплексные числа.

Перевод статьи «A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers»



изм. от 12.10.2013 г — ( )

ПРЕДИСЛОВИЕ

Концепция времени является одной из наименее известных человечеству, по крайней мере, современному. Огромный прорыв в понимании природы времени совершили Дьюи Ларсон и Николай Козырев. В то же время, можно сказать, что со свойствами времени работало большинство альтернативных ученых, независимо от того понимали они это или нет. В 1959 году Д. Ларсон опубликовал свою книгу “Структура физической вселенной». Он считал, что и пространство и время — это просто аспекты обратного отношения, называемое движением. Он часто приводил аналогию с коробкой, где снаружи коробки находится пространство, а внутри коробки – время, сама же коробка является движением. То есть вы имеете дело с пространством (снаружи), временем (внутри) и движением (коробка). Эти три концепции всегда взаимосвязаны и не могут работать независимо друг от друга. Со временем теория Ларсона стала известна как «Физическая теория обратной взаимообусловленности пространства и времени». Поэтому введение понятия трехмерного времени дало возможность связать воедино многие фрагменты.

Как только мы осознаем, что существуем одновременно в двух разных сферах — пространственной, материальной для тела, и временной, космической для души, легко понимаются все экстрасенсорные способности.

А вернувшись в класс математики средней школы и вспомнив одну довольно раздражающую в то время концепцию, известную как мнимое число, начинаешь понимать, что оно не настолько уж и мнимо. Число, которое действует подобно вращению и не существует нигде в пространстве как количество. С точки зрения школьника, с мнимыми числами труднее иметь дело, чем с дробями! Кстати, сейчас в школах даже не дают понятия комплексных чисел.

С нашей перспективы, время — это полярная сфера, естественно совершающееся вращение. Материальный и космический секторы лучше всего описываются как сложные соединения друг с другом, поэтому пространство реально, а время мнимо, не в смысле “веры”, а в смысле мнимого числа. Поймите комплексное число — комбинацию реального и мнимого чисел, и вы поймете связь между пространством и временем, ян и инь, телом и душой.

Поскольку координатное время не является мнимым, забавные маленькие мнимые числа на самом деле демонстрируют взаимодействие между физическим и метафизическим,… по одной ноге в обеих реальностях. Это открывает дверь к тому, что пребывает за пределами пространства и времени.

А теперь, имея ввиду вышеизложенное, взгляните на комплексные числа несколько более объемно, и вы увидите в плоских формулах математики многомерность.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Если решить уравнение x2 + 2х + 5 = 0 с использованием формулы корней квадратного уравнения, мы получим

В действительных числах определить значение √-1 невозможно.

Однако если задать оператор j формулой j = √-1, то можно найти решение этого уравнения в виде х = — 1 ± j2.

-1 + j2 и -1 — j2 известны как комплексные числа. Оба решения имеют вид а + jb, где а — действительная часть, a jb — мнимая часть. Число вида а + jb называется комплексным числом в декартовой системе координат.

Поскольку

j = √-1, то j2 = -1,
j3 = j2x j = (-1) х j = -j,
j4 = j2 х j2 = (-1) х (-1) = 1

и
j23 = j x j22 = j x (j2)11 = j x (-1)1 = j x (-1) = -j.

В чистой математике для обозначения √-1 используется символ i (это первая буква английского слова imaginary — мнимый). Однако i — это также обозначение электрического тока в инженерных науках, и во избежание путаницы для представления √-1 используется следующая буква алфавита, j.

Пример: Квадратное уравнение 2x2 + 3х + 5 = 0 решается следующим образом:

Следовательно , или -0,75 ±j1,392, с точностью до трех знаков после запятой.

Отметим, что график y = x2 + 2х + 5 = 0 не пересекает ось х, следовательно, уравнение x2 + 2х + 5 = 0 не имеет действительных корней.

КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ

Комплексное число можно графически представить в прямоугольной системе координат. Горизонтальная ось (ось х) используется для представления действительной части, а вертикальная (ось у) — для представления мнимой части. Таким образом, любое комплексное число можно отобразить в виде точки комплексной плоскости. На рис. 1 точка А представляет комплексное число (3 + j2) и имеет координаты (3, j2) на графике. На рис. 1 также показаны точки В, С и D, представляющие комплексные числа (-2 + о4), (-3 — j5) и (1 — j3) соответственно.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Два комплексных числа складываются/вычитаются посредством раздельного сложения/вычитания двух их действительных и двух мнимых частей.

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Чтобы перемножить комплексные числа, необходимо перемножить все величины в мнимой и действительной частях, как будто они действительные, а затем упростить, используя выражение j2 = -1..

Следовательно,
(а + jb)(c + jd) = ас + a(jd) + (jb)c + (jb)(jd) = ас + jad + jbe + j2bd = (ac — bd) + j(ad + be), поскольку j2 = -1.

Пример.

(3 + j2)(4 — j5) = 12 — j15 +j8 — j210 = (12 — (- 10)) +j(-15 + 8) = 22 — j7.

Комплексно-сопряженное для комплексного числа получают, изменив знак перед мнимой частью. Следовательно, комплексно-сопряженное для (а + jb) — это (а — jb). Произведение двух комплексно-сопряженных всегда равно действительному числу.

Например: (3 + j4)(3 — j4) = 9 — j12 + j12 — j216 = 9 + 16 = 25.

Значение (а + jb)(a — jb) «на глаз» можно оценить как а2 + b2.

Деление комплексных чисел осуществляют, умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к знаменателю.

Пример.

КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Если два комплексных числа равны, то их действительные части равны и их мнимые части равны. Следовательно, если a +jb = с +jd, то а = с и b = d.

Пример. Решить комплексное уравнение (1 + j2)(-2 — jЗ) = а + jb.

(1+ j2)(-2 — j’З) = a + jb,
-2 — jЗ — j4 — j26 = а + jb.

Следовательно, 4 — j7 = а + jb. Приравнивая действительную и мнимую части, получаем а = 4 и b = -7.

ПОЛЯРНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Пусть комплексное число Z равно х + jy, как показано на рис. 2. Пусть расстояние OZ равно г, и угол, который OZ составляет с положительным направлением действительной оси, равен Θ.

Из определения тригонометрических функций: х = г cos Θ и у = г sin Θ.

Z = r(cos Θ + sin Θ) обычно сокращают до rΘ, это полярная форма записи комплексного числа.

г называется модулем Z и записывается как mod Z или IZI.

г определяют по теореме Пифагора из треугольника OAZ с рис.2, т. е.

Θ называется аргументом Z и записывается как arg Z.

Из треугольника ОАZ находим arg Z = Θ = arctg y/x

При переходе от декартовой формы записи к полярной или наоборот очень важно построить диаграмму, чтобы определить, какому квадранту принадлежит комплексное число.

Пример. Выразить: а) 3 +j4 и б) -3 + j4 в полярной форме.

а) Число 3 + j4 показано на рис. 3, оно лежит в первом квадранте.

Модуль г = √(32 + 42) = 5 ,ааргумент Θ = arctg 4/3 = 53,13o = 53°8′.

Следовательно, 3 + j4 = 553,13o.

б) Число -3 + j4 лежит во втором квадранте.

Модуль г = 5, угол α = 53,13o из вычислений в п. а).

Аргумент Θ = 180o — 53,13o = 126,87o (т. е. аргумент нужно измерять относительно положительного направления действительной оси).

Следовательно, -3 + j4 — 5126,87o .

Аналогично можно показать, что (-3 — j4) = 5233,13o или 5-126,87o (принято использовать главное значение, т. е. численно наименьшее, чтобы выполнялось условие -π < Θ < π) и (3 - j4) = 5-53,13o.

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Существует несколько применений комплексных чисел в науке и технике, в частности в теории переменного тока, при векторном анализе в механике, в аэро- и гидродинамике. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Их широко использовал и отец русской авиации Н. Е. Жуковский при разработке теории крыла, автором которой он является.

Результат умножения фазового вектора на j — его поворот в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки) в комплексной плоскости на 90o без изменения его длины. Аналогично при умножении фазового вектора на -j он поворачивается на -90o. Эти свойства используются в теории переменного тока, поскольку некоторые величины на фазовых диаграммах лежат под углом 90o друг к другу. Например, в последовательном RL-контуре, показанном на рис. 5а, VL опережает I на 90o (т. е. I запаздывает относительно VL на 90o) и может быть записан как jVL, вертикальная ось считается мнимой осью комплексной плоскости. Таким образом, VR + jVL = V, и поскольку VR = IR, V= IXL (где XL — индуктивное сопротивление, 2πfL Ом), а V = IZ (где Z — полное сопротивление), то R + jXL = Z.

Например, Z = (4 + j7) Ом представляет полное сопротивление, состоящее из последовательно соединенных омического сопротивления величиной 4 Ом и катушки индуктивности с индуктивным сопротивлением 7 Ом. Аналогично для RC-контура, показанного на рис. 5б, Vс запаздывает на 90o относительно I (т. е. I опережает Vс на 90o), и VR — jVc = V, откуда R — jXc = Z (где Хс — емкостное сопротивление величиной 1/2πfL Ом).

Например, Z= (5 — jЗ) Ом представляет полное сопротивление, состоящее из последовательно соединенных омического сопротивления величиной 5 Ом и емкостного сопротивления. величиной 3 Ом.

Данный пример очень хорошо помогает представить откуда берется, например, «дополнительное пространство», необходимое для параллельных Вселенных, так упорно «вычисляемое» даже современной математикой. Я уже не говорю о х’Арийской арифметике, учитывающей многомерность, как само собой разумеющееся. Если хотите, можно назвать индуктивное и емкостное сопротивления — «величинами сопротивления времени», а емкость конденсатора — «количеством свободного времени», которое можно заполнить электричеством. Но тогда нам придется задать себе вопрос: — А что же такое электричество?

Как написал Н.А. Козырев еще в 1971 году: «…при малой плотности время с трудом воздействует на материальные системы. Возможно, что наше психологическое ощущение пустого или содержательного времени имеет не только субъективную природу, но имеет и объективную физическую основу».

«…время благодаря своим активным свойствам может вносить в наш мир организующее начало и тем противодействовать обычному ходу процессов, ведущему к разрушению и производству энтропии. Это влияние времени очень мало в сравнении с обычным разрушающим ходом процессов, однако оно в природе рассеяно всюду, и потому имеется возможность его накопления.

Результат поиска

Такая возможность осуществляется в живых организмах и массивных космических телах, в первую очередь в звездах. Для Вселенной в целом влияние активных свойств времени проявляется в противодействии наступлению ее тепловой смерти.»

Хотел написать о мнимых числах, а получилось о реальном времени…

Доклад: Комплексные числа

Министерство общего и профессиональногообразования РФ

Гимназия № 12

реферат

на тему:  Комплеклсные числа

                                                                                        Выполнил:         ученик9 “Д”                  класса

                                                                                                                    КрутькоЕ.А.

                                                                                        Проверила:  СанинаВ.Г.

Тюмень 1999


План.

1. Зачем нужны новые числа?

2. Неприводимый случайкубического уравнения.

3. Действительное + мнимое =комплексное.

       Когдамы слышим слово “число”, то на ум прежде всего приходят натуральные числа: 1,2, 3… Их мы используем для пересчета разнообразных предметов. Если натуральныхчисел оказывается недостаточно, прибегаем к дробям, а точнее – к рациональнымчислам. И то, как правило, не ко всем, а лишь к тем, которые выражаютсяконечными десятичными дробями. Уж их-то вполне хватает для повседневных нужд.Конечные десятичные дроби позволяют фиксировать результаты всевозможныхизмерений с произвольной точностью. Чего же еще ждать от чисел?

       Но вот нам говорят, что существуютнесоизмеримые величины. Например, диагональ квадрата несоизмерима с егостороной, т.е. отношение их длин -/>-не является рациональным числом, хотя и может с любой наперед заданнойточностью быть приближенно рациональным числом. И тогда становится понятно, чтопроще признать эти новые, иррациональные числа, чем каждый раз вместо “решимуравнение x2=2”говорить“ найдем такое x, чтобы x2отличалось от 2 не более, чем на такую-то величину”.

       Построенное таким образом сообщество –множество действительных чисел – уже не только удовлетворяет нашим практическимпотребностям, но и обладает определенной теоретической полнотой. Оно позволяетформулировать разнообразные задачи, сводить их к уравнениям и решать, не боясьвпасть в противоречие. Нельзя, например, делить на нуль, нельзя извлекатькорень четной степени из отрицательных чисел и т.д. Однако правила этинесложны, и если им строго следовать, то все будет в порядке…

       Но все ли? Рассмотрим такойпример: /> можно считать равным и 1, и–1, а определить /> невозможно. Сдругой стороны, что такое 1/6? Это то же самое, что 2/12.Однако />= (-1)1/6, (-1)2/12/>, а последний корень можноизвлечь!

       Вот еще один пример: />.

Но если квадратного корня из –1 не существует, то иего четвертой степени не существует. Значит, -1 нельзя возвести даже в квадрат?

       Кому-то покажется, что все это не настоящиепротиворечия. Можно наложить дополнительные запреты на действия с числами, иподобные ситуации больше не возникнут. Но всегда ли разумны запреты? Представьте себе, что некоторые задачи весьма успешно решаются толькос нарушением определенного запрета, и никак не удается найти “законного”способа их решения. Не стоит ли в таком случае отказаться от ограничения,ставшего слишком обременительным? Именно этопроизошло в свое время с запретом извлекать квадратный корень из отрицательныхвеличин при решении так называемого неприводимого случая кубического уравнения.

Для решения уравнения вида />  былавыведена формула

/>,

прдобно тому как для решения квадратного уравнениясуществует общая формула, выражающая корни уравнения через его коэффиценты,аналогичная формула есть и для кубического уравнения. Она называется формулойКардано – по имени математика, впервые ее опубликовавшего. Но, к примеру, дляуравнения

х3 = 30х + 36

Формула Кардано дает

х =/>

Под квадратным корнем здесь оказалось отрицательноечисло. В то же время имеет решение х = 6 – это легко проверить.

       Однако, предположим на секунду, что корни изотрицательных чисел существуют. Тогда, если научиться извлекать кубическиекорни из выражения вида А+/>,можно будет вычислить х=/> Мыполучим 3+/> и 3-/>.В самом деле, возведем в куб выражение 3+/>,воспользовавшись формулой (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3:

/>

Аналогично, /> Поэтому х/>.

       Как видим, “странные” корни успешносокращаются.

То есть мы решили обычное уравнение и нашли корень – обычноедействительное (и даже натуральное) число. Но для этого в промежуточныхвыкладках нам пришлось оперировать “необычными“ числами. И самое главное –никаким другим способом, за исключением разве что угадывания, это решениеполучить не удается!

       Теперь у нас есть три пути:

—      безоговорочно следовать установленным запретами отказаться от новых приобретений, т.е. считать, что никакого метода решениянеприводимого случая кубического уравнения у нас нет;

—      “спрятать голову в песок”, т.е. каждый раз,решая уравнение, при переходе к действию с выражениями вида /> говорить “извените!”, а возвращаясь “на законнуюпочву”, делать вид, что ничего не произошло;

—      коль скоро допустили в промежуточные вкладкиобъекты новой природы, всерьез заняться их изучением: дать определение,исследовать свойства, научиться выполнять арифметические операции.

        Хотя и не сразу, но в конечном итогематематеки выбрали третий путь. И были вознаграждены: “странные” корни нашлиширокое применение в электротехнике, аэродинамике и других областях знаний.

       Итак, кроме привычных действительных (буквально– “реально существующих”) чисел нам приходится рассматривать еще числа вида/>, где А – положительное действительное число. Что зачисла, как их “потрогать руками” – все это вопросы, не имеющие ответа. Мыпросто договарились считать, что они есть. И вполне естественно, что такиечисла были названы мнимыми, т.е. “нереальными”. Сама идея комплексного числавозникла у итальянских математиков XVI в. в процессе решенияуравнений 3-й и 4-й степеней.

       Но кое-что о мнимых числах ма все же знаем.Например, что при возведении в квадрат они дают отрицательные числа. Далее, поскольку/>, то />=/>, а /> -это обычное действительное число. Значит, мнимое число можно получить исходя изединственного мнимого числа/>,если умножить его на подходящее действительное число. Таким образом, вместобезбрежного океана таинственных обьектов мы имеем один-единственный непривычныйобъект, все же остальные строятся с помощью операции умножения. Согласитесь, стакой ситуацией примерится уже гораздо легче.

       Число />,играющее роль “строительного блока” в мире мнимых чисел, называют мнимойединицей и по предложению Леонардо Эйлера обозначают i (от лат. imaginarius – “мнимый”), но формальные операции над комплексными числами ввелБомбелли. Основное свойство мнимой единицы выражается простым равенством:

/>.

       Однако, как подсказывает опыт решениякубических уравнений, кроме действительных и мнимых нам приходитсярассматривать также числа вида А+/>, которыепредставляют собой сумму действительного. Такие числа именуются комплексными,т.е. составными.

       А теперь, суммируя все сказанное, сформулируемнаконец определение комплексного числа: комплексным числом называется выражениевида a+bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимаяединица.

Список использованной литературы

В. Антонов.

Результат поиска

Энциклопедия для детей. Том 11.Математика –

Москва: изд-во “Аванта+”,1998. – 688 с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *