Простые числа до 10000000000000

.

Простые числа

Все натуральные числа, кроме единицы подразделяются на простые и составные. Простое число — это натуральное число, которое имеет только два делителя: единицу и само себя. Все остальные называются составными. Исследованием свойств простых чисел занимается специальный раздел математики — теория чисел.

Таблица (список) простых чисел до 10000

В теории колец простые числа соотносят с неприводимыми элементами.

Приведем последовательность простых чисел начиная с 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, … и т.д.

Согласно основной теореме арифметики каждое натуральное число, которое больше единицы можно представить в виде произведения простых чисел. Вместе с тем это является единственным способом представления натуральных чисел с точностью до порядка следования сомножителей. Исходя из этого, можно сказать, что простые числа — это элементарные части натуральных чисел.

Такое представление натурального числа называется разложением натурального числа на простые числа или факторизацией числа.

Одним из самых древних и эффективных способов вычисления простых чисел является «решето Эрастофена».

Практика показала, что после вычисления простых чисел с помощью решета Эрастофена требуется проверить, является ли данное число простым. Для этого разработаны специальные тесты, так называемые тесты простоты. Алгоритм этих тестов являются вероятностными. Чаще всего их применяют в криптографии.

Кстати сказать, что для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты. К примеру, для проверки чисел Мерсенна на простоту применяют тест Люка-Лемера, а для проверки на простоту чисел Ферма — тест Пепина.

Все мы знаем, что чисел бесконечно много. Справедливо возникает вопрос: сколько же тогда существует простых чисел? Простых чисел также бесконечное количество. Наиболее древним доказательством этого суждения является доказательство Евклида, которое изложено в «Началах». Доказательство Евклида имеет следующий вид:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число невозможно разделить ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Таким образом, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Теорема распределения простых чисел утверждает, что количество простых чисел меньших n, обозначаемое π(n), растёт как n / ln(n).

За тысячи лет исследования простых чисел, было выявлено, что наибольшим известным простым числом является 243112609 − 1. Это число включает 12 978 189 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M43112609). Это открытие было сделано 23 августа 2008 года на математическом факультете университета uCLA в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS.

Главной отличительной особенностью чисел Мерсенна является наличие высоко эффективного теста простоты Люка — Лемера.

С его помощью простые числа Мерсенна на протяжении длительного периода времени являются самыми большими из известных простых чисел.

Однако по сей день многие вопросы относительно простых чисел не получили точных ответов. На 5-м Международном математическом конгрессе Эдмунд Ландау сформулировал основным проблемы в области простых чисел:

Проблема Гольдбаха или первая проблема Ландау заключается в том, что необходимо доказать или опровергнуть, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел.
Вторая проблема Ландау требует найти ответ на вопрос: бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2?
Гипотеза Лежандра или третья проблема Ландау такова: верно ли, что между n2 и (n + 1)2 всегда найдётся простое число?
Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида n2 + 1?
Помимо вышеперечисленных проблем существует проблема определения бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях типа числа Фибоначчи, числа Ферма и т. д.

Основной сферой приложения простых чисел является криптография. Наибольшее распространение в этой области получили простые числа порядка 10300. Кроме этого простые числа используются в хеш-таблицах, а также для генерации псевдослучайных чисел (в частности, в ГПСЧ Вихрь Мерсенна).

Поделиться ссылкой

Список простых чисел

На этой странице размещена таблица простых чисел от 2 до 10000 (1229 простых чисел).
Простые числа — это натуральные числа, которые имеют два делителя: единицу и само себя. Другие числа, кроме единицы, называют составными. То есть, все натуральные числа больше 1 разбиваются на составные и простые. Свойства простых чисел изучает теория чисел. Если представленных чисел недостаточно, воспользуйтесь формой ниже, чтобы получить список нужных простых чисел.

Получить список простых чисел из промежутка онлайн

Например, от 1 до 1000.

https://uchim.org/matematika/tablica-prostyx-chisel — uchim.org

Таблица до 10000

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311
313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613
617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719
727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049
1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163
1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283
1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423
1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511
1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619
1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747
1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877
1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003
2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129
2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267
2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377
2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503
2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657
2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741
2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861
2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011
3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167
3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301
3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413
3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541
3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671
3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797
3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911 3917 3919 3923
3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057
4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139 4153 4157 4159 4177 4201 4211
4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297 4327 4337
4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409 4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481
4483 4493 4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603 4621
4637 4639 4643 4649 4651 4657 4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751
4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831 4861 4871 4877 4889 4903 4909
4919 4931 4933 4937 4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009 5011
5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087 5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167
5171 5179 5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279 5281 5297 5303 5309
5323 5333 5347 5351 5381 5387 5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443
5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521 5527 5531 5557 5563 5569 5573
5581 5591 5623 5639 5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693 5701 5711
5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791 5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849
5851 5857 5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939 5953 5981 5987 6007
6011 6029 6037 6043 6047 6053 6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133
6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221 6229 6247 6257 6263 6269 6271
6277 6287 6299 6301 6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361 6367 6373 6379
6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473 6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563
6569 6571 6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673 6679 6689 6691 6701
6703 6709 6719 6733 6737 6761 6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833
6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 6917 6947 6949 6959 6961 6967 6971
6977 6983 6991 6997 7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103 7109 7121
7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207 7211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253
7283 7297 7307 7309 7321 7331 7333 7349 7351 7369 7393 7411 7417 7433 7451 7457
7459 7477 7481 7487 7489 7499 7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561
7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643 7649 7669 7673 7681 7687 7691
7699 7703 7717 7723 7727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 7817 7823 7829 7841 7853
7867 7873 7877 7879 7883 7901 7907 7919 7927 7933 7937 7949 7951 7963 7993 8009
8011 8017 8039 8053 8059 8069 8081 8087 8089 8093 8101 8111 8117 8123 8147 8161
8167 8171 8179 8191 8209 8219 8221 8231 8233 8237 8243 8263 8269 8273 8287 8291
8293 8297 8311 8317 8329 8353 8363 8369 8377 8387 8389 8419 8423 8429 8431 8443
8447 8461 8467 8501 8513 8521 8527 8537 8539 8543 8563 8573 8581 8597 8599 8609
8623 8627 8629 8641 8647 8663 8669 8677 8681 8689 8693 8699 8707 8713 8719 8731
8737 8741 8747 8753 8761 8779 8783 8803 8807 8819 8821 8831 8837 8839 8849 8861
8863 8867 8887 8893 8923 8929 8933 8941 8951 8963 8969 8971 8999 9001 9007 9011
9013 9029 9041 9043 9049 9059 9067 9091 9103 9109 9127 9133 9137 9151 9157 9161
9173 9181 9187 9199 9203 9209 9221 9227 9239 9241 9257 9277 9281 9283 9293 9311
9319 9323 9337 9341 9343 9349 9371 9377 9391 9397 9403 9413 9419 9421 9431 9433
9437 9439 9461 9463 9467 9473 9479 9491 9497 9511 9521 9533 9539 9547 9551 9587
9601 9613 9619 9623 9629 9631 9643 9649 9661 9677 9679 9689 9697 9719 9721 9733
9739 9743 9749 9767 9769 9781 9787 9791 9803 9811 9817 9829 9833 9839 9851 9857
9859 9871 9883 9887 9901 9907 9923 9929 9931 9941 9949 9967 9973      

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица (список) простых чисел до 10000

Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.

Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:

Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):

Таблица простых чисел от 1 до 10000. Таблица простых чисел от 1 до 1000

.

Простые и составные числа

В зависимости от того, сколько делителей имеет число, числа делятся на простые и составные.

Список простых чисел от 1 до 100 000

Знание наизусть простых чисел или проверка их по таблице используется для сокращения дробей, нахождения наибольшего общего кратного и наименьшего общего знаменателя и в других вычислениях.

Определение. — это число, у которого только два делителя: 1 и само число.

Например:
13 (1 * 13 = 13);
457 (1 * 457 = 457).

Все простые числа сведены в таблицу простых чисел, из которой желательно знать наизусть однозначные и двузначные простые числа, что упростит вычисления по многим темам школьной программы. Приведем таблицу простых чисел первой сотни натурального ряда.

Составные числа кратны трем и более натуральным числам.

Определение. Натуральное число, имеющее натуральный делитель, отличный от него самого и 1, называется .

Например:
6 (1 * 2 * 3 = 6);
128 (1 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128; 1 *4 * 4 * 8 = 128; 1 * 4 * 32 = 128).

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Метод поиска простых чисел разработан и применен древнегреческим ученым Эратосфеном и поэтому называется «решето Эратосфена».

Метод «решета Эратосфена» состоит в вычеркивании чисел, кратных простым числам, меньшим заданного. Наименьшее из не вычеркнутых натуральных чисел и является следующим простым числом.

Пример. С помощью метода Эратосфена определим простые числа первых двух десятков ряда натуральных чисел.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

  • 1 — не простое число, вычеркивается.
  • 2 — подчеркиваем. Находим числа, кратные 2, и вычеркиваем их (4, 6. 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).
  • 3 — подчеркиваем. Вычеркиваем в поле все числа, которые кратны 3 (9, 15).
  • 5 — подчеркиваем. Числа, кратные 5, уже вычеркнуты с поля (10,15.20).
  • 7 — подчеркиваем. Число, кратное 7, уже вычеркнуто с поля (14).
  • Числа 11.13,17 и 19 в нашем поле не имеют кратных чисел, подчеркиваем их.

Следовательно, из чисел первых двух десятков простыми будут числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13. 17, 19.

Расширяя поле до 1000 или 10 000, мы тем же методом, пропустив все числа через «решето Эратосфена», можем найти простые числа до 1000 или 10 000. Метод универсален, с его помощью таблицу простых чисел можно расширять до бесконечности.

Запись опубликована в рубрике Математика с метками числа. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Бойко Н.Е.,633гр.
Науч.рук. Пуркина В.Ф.

Теория чисел является одним из древнейших разделов математики. Она возникла как наука, изучающая свойства натуральных чисел. Понятие натурального числа и арифметических действий нал числами является одним из первых математических абстракций, имеющим важнейшее значение для математики, других наук и всей практической деятельности человечества.

Некоторые результаты о простых числах были получены ещё в Древней Греции. В книге Евклида «Начала» содержится доказательство бесконечности множества простых чисел. Древнегреческий учёный Эратосфен нашел способ составления таблиц простых чисел, названный позднее » решетом Эратосфена».

Проблемы, связанные с распределением простых чисел в натуральном ряде обычно являются очень трудными. Многие великие математики проявляли к ним большой интерес. Существенный прогресс в исследовании этих проблем был достигнут в середине XIX века русским ученым П. Л. Чебышевым.

Функция П(X). Неравенство Чебышева.

Рассмотрим множество натуральных чисел N.

Определение: Каждое натуральное число n, n>1,принадлежащее множеству N называется простым, если оно не имеет других натуральных делителей, кроме 1 и n.

Число простых чисел, меньших или равных X, мы будем обозначать через П(X), так что П(X)= 1.Для каждого данного X можно выписать все простые числа p&#8804X и определить их число, т.е. вычислить П(X). Однако мы не получим при этом представления о том, как меняется функция П(X) с увеличением X, т.е. представления о том, как быстро увеличивается число простых чисел, если брать всё большие отрезки натурального ряда.

В 1848 и 1850 годах появились две замечательные работы П. Л. Чебышева, в которых исследовался вопрос о порядке роста функции П(X).

Теорема Чебышева: Существуют две постоянные a и b, такие, что 01 и для всех x&#88052 выполняются неравенства: a<П(X) < b

П. Л. Чебышев показал, что в качестве a и b можно взять значения a=0,921, b=1,106 сравнительно близкие к 1.

Из теоремы Чебышева следует, что при увеличении X отношение

Работы П. Л.

Простые числа до 10000 (Таблица)

Чебышева поставили перед математиками задачу найти постоянные a и b более близкие к 1, т.е. получить асимптотическую формулу П(X)&#8764, выражающую, что lim=1.

Равенство данного предела единице была доказана Чебышевым, но существование его он показать не смог. Это сделали в 1896 году независимо друг от друга Ж.Адамар и Ш.Ж. де ла Вале-Пуссен.

Формула Мейсселя.

Остановимся на некоторых точных формулах для П(X), позволяющих вычислять значения этой функции, не составляя предварительно таблицы самих простых чисел.

Обозначим через Ф(X,Y) число простых чисел, меньших или равных X, не делящихся на простые числа, меньшие или равные Y.

Теорема Мейсселя: П(X)= Ф(X,X1/3 )-+ 1/2(П(X1/2)+П(X1/3)-2)(П(X1/2)-П(X1/3)+1).

Эта формула была получена Мейсселем в 1870 году и является очень удобной для вычисления значений П(X).

Вычисление значений функции П(X) обычно осуществляется с помощью данной формулы или аналогичных формул такого рода. Известны формулы выражающие П(X) через Ф(X, X1/n ) при n>3 и значения П(Y) при сравнительно небольших значениях Y, однако эти формулы очень громоздки.

Пример: Найти число простых чисел в пределах от 1 до 1250.

Ф(1250,)=287.Между =10,7… и =35,3 лежат простые числа 11,13,17,19,23 и 31. П (10,7)=4, П(35,3)=11. Находим при X=1250.

=П(1250/11)+П(1250/13)+П(1250/17)+П(1250/19)+П(1250/23)+П(1250/29)+П(1250/31)=35

П(1250)=287-135+1/2(11+4-2)(11-4+1)=204.

Простые числа в арифметических прогрессиях.

Определение: Арифметической называется такая последовательность, в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и тоже число.

Арифметические прогрессии являются наиболее простым примером подпоследовательности последовательности натурального ряда.

Возьмём ,например, арифметическую прогрессию с разностью 10.

7,17,27,37,47,57,67,77,87,97,…

Видно, что в начале среди её членов встречается сравнительно много простых чисел(подчёркнутые члены). Будут ли простые числа, содержащиеся в этой прогрессии, образовывать бесконечное множество или начиная с некоторого места простые числа больше уже встречаться не будут?

Ответ на этот вопрос дал в 1837 году Дирихле. Оказывается, что не только в данной прогрессии, но и в любой другой прогрессии, у которой начальный член взаимно прост с разностью содержится бесконечное число простых чисел.

Теорема Дирихле: Если (k,l)=1, то прогрессия l,l+k,l+2k,l+3k,… содержит бесконечное число простых чисел.

В 1949 году Сельбергом было опубликовано элементарное доказательство этой теоремы. Для отдельных частных случаев теорема Дирихле может быть получена совершенно элементарно, например, на основании двух вспомогательных теорем:

Теорема: Множество простых чисел вида 4t+3 бесконечное множество.

Теорема: Множество простых чисел вида 4t+1 бесконечное множество.

Однако, ничего это не говорит о том, как далеко от начала прогрессии начнут встречаться простые числа. В этом отношении интересный результат был получен в 1944 году Ю. В. Линником. Теорема Линника устанавливает границу для наименьшего простого числа любой заданной прогрессии.

Теорема Линника: Существует постоянное число с, такое, что при любых взаимно простых k и l (1&#8804 l &#8804 k ) наименьшее простое число, принадлежащее прогрессии l,l+k,l+2k,l+3k… не превосходят kc .

Арифметические прогрессии представляют собой значения линейной функции f(t)=kt+l при t=1,2,3… Если вместо линейной функции взять другую функцию f(t), то можно так же составить задачу: содержит ли последовательность f(1), f(2), f(3),… бесконечное множество простых чисел?

Современная теория чисел пока не сумела решить этот вопрос. Трудность этой проблемы не связана с особенностью функции f(t), проблема будет, если перейти и к другому неприводимому над полем рациональных чисел многочлену второй степени at2 +bt+c, где(a,b,c)=1. Ещё труднее становится проблема, если перейти к многочленам более высокой степени. До сих пор ни для одного многочлена с целыми коэффициентами f(t)=a0 tn +a1 tn-1 +…+an степени n>1 не удалось установить существование бесконечного числа простых чисел.

Итак, современной теории чисел удаётся исследовать распределение простых чисел только в арифметических прогрессиях, да и то далеко не полностью.

В теории чисел широко используются методы теории функций, алгебры, геометрии, теории вероятностей. Особенно большое значение имеют аналитические методы, основанные на применении к задачам теории чисел теории функции комплексного переменного.

Решение теоретико-числовых задач стимулировало развитие других разделов математики. Например, развитие методов, связанных с изучением распределения простых чисел, в значительной мере способствовало развитию теории целых и мероморфных функций.

Теория чисел в основном является наукой теоретической. Однако её результаты и методы успешно применяются в других разделах математики, многих других науках, а также при решении ряда практических задач.

Литература

  1. А. А. Бухштаб «Теория чисел» издательство «Просвещение» 1966г.
  2. А. Я. Куликов «Алгебра и теория чисел » Учебное пособие для педагогических институтов- М.:Высшая школа 1979г.

  3. А. А. Карацуба «Основы аналитической теории чисел» второе издание-М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы 1983г.
  4. А. Б. Шидловский «Введение в теорию чисел» М.:Издательство Московского института 1984г.
  5. К. Чандрасекхаран «Введение в аналитическую теорию чисел «Издательство «Мир» 1974г.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *