Распределение пуассона примеры

.

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

При большом числе испытаний $n$ и малой вероятности $р$ формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, $0.97^{999}$ вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в $n$ испытаниях ($n$ – велико) событие произойдет $k$ раз, используют формулу Пуассона:

$$ P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}, \qquad \lambda=n \cdot p. $$

Здесь $\lambda=n \cdot p$ обозначает среднее число появлений события в $n$ испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для $p \le 0,1$ и $np \le 10$. При больших $np$ рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

На сайте есть бесплатный онлайн-калькулятор для формулы Пуассона

Примеры решений

Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого.

Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию дано: .

Искомая вероятность

Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004.

Распределения Пуассона. Решение задач

Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию дано: .

По теореме сложения вероятностей

Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. По условию дано: .

Получаем:

Подробную статью о формуле с примерами, онлайн калькулятор и расчетный файл к видеоролику вы найдете тут.

Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если вероятности ее возможных значений

вычисляется по формуле Пуассона, где a=np<10. Как правило, Пуассоновское распределение касается вероятности появления благоприятного события в большом количестве экспериментов, если в одном — вероятность успешного завершения стремится к нулю.

В табличной форме этот закон распределения имеет вид

Условие нормировки для пуассоновского закона распределения запишется следующим образом

Построим образующую функцию вероятностей для приведенного закона

Она принимает достаточно простой компактный вид

Воспользовавшись зависимостями для определения математического ожидания М (Х) и дисперсии D (X) через производные от образующей функции в единице, получим их простые зависимости

1. Математическое ожидание определяется по формуле

2. Имея вторую производную от образующей функции в единице

находят дисперсию


Среднее квадратическое отклонение вычисляем через квадратный корень из дисперсии

Следовательно, для пуассоновского закона распределения вероятностей математическое ожидание и дисперсия равны произведению количества опытов на вероятность благоприятной события

На практике, если математическое ожидание и дисперсия близкие по значению то принимают гипотезу, что исследуемая величина имеет закон распределения Пуассона.

3. Асимметрия и эксцесс для пуассоновский закон также уровни и вычисляются по формулам

Рассмотрим несколько задач.

—————————————-

Задача 1. Микропроцессор имеет 10000 ранзисторов, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что транзистор выйдет из строя во время работы прибора, является величиной маловероятной и составляет 0,0007. Определить математическое ожидание М (Х) и среднее квадратическое отклонение S (Х) случайной величины Х — исла транзисторов, выйдут из строя во время работы процессора.

Решение. Задача удовлетворяет всем законам пуассоновский распределения:

количество испытаний n=10000 велика;

вероятность р=0,0007 близка к нулю;

их произведение a=np=7<10.

На основе данных вычисляем заданные величины

————————————

Задача 2.

Распределение Пуассона. Дискретные распределения в MS EXCEL

В рыбацком городке 99,99% мужчин хотя бы раз в жизни были на рыбалке. Проводят социологические исследования среди 10000 наугад выбранных мужчин. Определить дисперсию D (X) и среднее квадратическое отклонени S (Х) случайной величины Х — числа мужчин, которые ни разу не были на рыбалке.

Решение. егко убедиться, что величина Х имеет пуассоновский закон распределения. С условия задачи находим

По формулам находим дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Можно найти в гугле еще много подобных задач, всех их объединяет изменение случайной величины по закону Пуассона. Схема нахождения числовых характеристик приведена выше и является общей для всех задач, кроме того формулы для вычислений достаточно простыми даже для школьников.

Если вероятность появления события в отдельном испытании достаточно близка к нулю , то даже при больших значениях количества испытаний вероятность, вычисляемая по локальной теореме Лапласа, оказывается недостаточно точной.

В таких случаях используют формулу, выведенную Пуассоном.

ТЕОРЕМА ПУАССОНА

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, но достаточно мала, число независимых испытаний достаточно велико, при этом сочетания меньше десяти то вероятность того, что в количестве испытаниях событие наступит ровно раз примерно равна

где

Для формулы Пуассона используют таблицы табулирования функции .

——————————-

Рассмотрим примеры типичных для студентов задач.

Пример 1. Автобиография писателя издается тиражом в 1000 экземпляров. Для каждой книги вероятность быть неправильно сброшюрованной равна 0,002. Найти вероятность того, что тираж содержать ровно 7 бракованных книг.

Решение. Проверим выполнение условия теоремы Пуассона. Для входных значений

получим

что условия выполняются.
По табличным значениям функции Пуассона находим вероятность

Применения к этому событию локальную теорему Лапласа получим

Точное значение вероятности определяем по формуле Бернулли

Из анализа трех методов следует, что формула Пуассона дает более точнее приближения, чем формула Лапласа. Именно поэтому ее рекомендуют применять для отыскания вероятности в такого сорта задачах.

——————————-

Пример 2. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004.

Распределение Пуассона (стр. 1 из 4)

Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

Решение. Имеем даные , которые удовлетворяют требования теоремы Пуассона По таблице функции Пуассона при получим:

Найдем вероятность того же события по локальной теореме Лапласа.

Для ,

искомая вероятность:

Точное значение вычисляем согласно формулы Бернулли:

Таким образом, формула Пуассона дает гораздо более точное приближение, чем формула Лапласа.

——————————-

Пример 3. Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь бракованная, равна 0,02. Какова вероятность того, что среди 200 деталей окажется 5 бракованных?

Решение. Есть , есть удовлетворяются требования теоремы

По таблице функции Пуассона при получим:

———————————————-

Используйте формулу Пуассона в тех задачах, где она более уместна. Всегда проверяйте выполнения условия теоремы Пуассона, при значениях которые не удовлетворяют условие формула дает большую погрешность при вычислении вероятности. Для проверки результата применяйте формулу Бернулли, она более точна и с ее результатом найденную вероятность по формуле Пуассона лучше всего сравнивать. Если погрешность невелика, тогда Вы все сделали правильно, в противном случае придется вычислять снова или найти слабое место и исправить ошибки.

Аналитические закономерности игры в футбол как основа для выбора тактики игры и построения технико-тактической подготовки квалифицированных футболистов

Понятие и классификация аналитических закономерностей игры в футбол.Построение тренировочного процесса футболистов в многолетнем плане и на этапах тренировок в годичном цикле предполагает определение некоторой конечной цели: что же должно получиться в результате выполнения конкретного упражнения, проведения серии занятий после разных по длительности периодов тренировок.

Определить эту цель и отбросить всё второстепенное на пути ее достижения помогает знание аналитических (статистических) закономерностей игры в футбол, которые отражают большую или меньшую вероятность тех или иных событий в соревновательных играх и статистически достоверны [2, 4, 7, 10, 11].

Эти закономерности определяются правилами игры и многими факторами (биомеханическими, физиологическими, психическими), отражающими физические и технические возможности игроков.

Они могут использоваться при определении тенденций развития игры в футбол, выборе тактики игры, планировании тренировочного процесса, определении пропорций в работе над отдельными составляющими подготовленности игроков [1, 2, 4 — 7, 10, 11, 13].

Для выявления закономерностей игры в футбол необходим анализ игровой деятельности сильнейших футболистов мира. В этом случае показатели, отражающие данные закономерности, фактически будут являться нормативными показателями игровой деятельности и подготовленности футболистов, а многие из них можно рассматривать как модельные характеристики [2, 4, 6, 7, 11].

Наибольший интерес представляют те эпизоды игры, которые связаны с доставкой мяча в зону поля, наиболее благоприятную для нанесения удара по воротам, и собственно взятием ворот.

С точки зрения построения игры команды и технико-тактической подготовленности футболистов закономерности доставки мяча на «ударную позицию» и взятия ворот можно рассматривать с нескольких позиций:

  • значимость гола для результата игры;
  • вероятность второго подряд взятия ворот и возможность пропустить ответный гол в разные интервалы времени после забитого гола;
  • вероятность гола в зависимости от места и варианта начала атаки;
  • закономерности развития голевых атак;
  • характеристика выполнения футболистами последнего «хода» (передачи или ведения мяча) перед нанесением удара по воротам, завершившимся голевым ударом;
  • соотношение голов, забиваемых в разных игровых ситуациях;
  • области преимущественного выполнения ударов по воротам и голевых ударов ногой и головой в различных игровых ситуациях.

Ниже приводится характеристика ряда аналитических закономерностей доставки мяча на «ударную позицию» и взятия ворот, выявленных на основании анализа статистических данных и наблюдений за играми соревнований Кубков мира и Первенств Европы 1960-2004 гг., Чемпионатов и Кубков России 1995 — 2004 гг. [2, 3, 8, 13].

Характеристика основных аналитических закономерностей игры в футбол

Значимость гола для результата игры:

  • команды, первыми забивающие гол в матче, в 90% случаев по крайней мере не проигрывают;
  • команды, которым удается забить первыми два гола подряд, более чем в 90% случаев выигрывают, а проигрывают крайне редко;
  • первые в игре голы, забиваемые в первой половине первого тайма, более весомы для достижения командой победы в матче [3, 4, 9].

Вероятность второго подряд взятия ворот и возможность пропустить ответный гол в разные интервалы времени после забитого гола:

  • если команде удается забить в игре два гола подряд и эти два гола являются первым и вторым в матче, в одной трети случаев второй гол забивается в течение 10 мин после первого;
  • если два гола, подряд забитых командой, являются для нее вторым и третьим в игре, то третий гол забивается в течение 10 «стрессовых» минут уже в 40% случаев;
  • если команда, забившая гол, не смогла в течение 10 мин забить второй гол, то команда, пропустившая гол, в промежутке от 10 до 20 мин после пропущенного гола имеет наибольшие шансы забить ответный гол [3, 4].

Вероятность гола в зависимости от места и варианта начала атаки:

  • вероятность взятия ворот и назначения 11-метрового удара после атак, начинающихся с отбора или перехвата мяча у соперника в зоне атаки, в 3 раза выше в сравнении с теми случаями, когда такие атаки начинаются в зоне обороны или в средней зоне (3-4 и 1,0-1,2%);
  • вероятность взятия ворот и назначения 11-метрового удара после атак, начинающихся с ввода мяча в игру со штрафных и свободных ударов путем выполнения передачи из средней зоны или из зоны обороны, составляет в среднем 0,6-0,7%, а из зоны атаки — 3-4%;
  • вероятность взятия ворот и назначения 11-метрового удара после атак, начинающихся с вбрасывания мяча из-за боковой линии, составляет 0,2-0,6%,
  • вероятность попадания мяча в створ ворот и гола в зависимости от дистанции ударов;
 Закономерности развития голевых атак:

  • скорость прохождения голевых атак примерно одинакова вне зависимости от того, на каком участке поля они начинались;
  • из всех голевых атак, начинающихся с игры, две трети составляют атаки, длительностью не более 15 с, причем в одной трети случаев голевые атаки продолжаются не более 10 с;
  • из всех голевых атак, начинающихся «из стандартных положений», примерно 80% составляют атаки, продолжающиеся не более 15 с;
  • с увеличением числа передач, выполненных с момента овладения мячом до нанесения удара по воротам, вероятность гола снижается;
  • больше половины голов забивается, когда перед нанесением удара по воротам делается от одной до пяти передач мяча, при проведении атак, в которых выполняется шесть-семь передач мяча и более, вероятность гола незначительна (3-5%) [2, 4, 6, 7, 13].

Закономерности выполнения последнего «хода» перед нанесением голевого удара:

  • наиболее часто последний «ход» перед нанесением голевого удара выполняется не далее 35 м от линии ворот команды соперника;
  • перемещения с мячом, которые заканчиваются нанесением голевого удара в штрафной площади, в одних случаях полностью выполняются в штрафной площади, а в других — начинаются из-за пределов штрафной площади;
  • в штрафной площади голевые передачи выполняются из двух областей (справа и слева от ворот), каждая из которых находится между боковой линией штрафной площади и боковой линией площади ворот продолженной к линии штрафной площади;
  • голевые передачи мяча с игры из-за штрафной площади выполняются в основном из мест у боковых линий штрафной площади, а также из области, которая находится напротив штрафной площади практически по всей ее ширине в 20-30 м от линии ворот [1, 2, 4, 7, 13].

Вероятность попадания мяча в створ ворот и гола в зависимости от дистанции ударов:

  • с увеличением расстояния на 1 м вероятность попадания мяча в створ ворот снижается примерно на 3%;
  • при выполнении ударов с дистанции 33-35 м вероятность попадания мяча в створ ворот составляет не более 5%;
  • при выполнении ударов с 23-25 м вероятность попадания мяча в створ ворот примерно равна вероятности парирования мяча вратарями (порядка 30%) [4, 7].

Соотношение голов, забиваемых с игры и из стандартных положений:

  • примерно 30% всех голов забивается при реализации стандартных положений;
  • при выполнении штрафных и свободных ударов забивается примерно 13-15% всех голов;
  • при выполнении угловых ударов в среднем забивается около 8-10% всех голов;
  • с 11-метровых ударов забивается примерно 810% всех голов [1, 2, 4, 6, 7, 13].

Соотношение голов, забиваемых из площади ворот, штрафной площади и из-за штрафной площади:

  • в среднем до 80-85% всех голов забивается и штрафной площади, примерно 20% — непосредствен но из площади ворот;
  • ударами, выполняемыми из-за штрафной пло щади, забивается не более 15-20% голов, причем большинстве случаев с расстояний не далее 25 м с ворот [2, 4, 7, 10, 13].

Области выполнения ударов по воротам и го левых ударов:

  • 90-95% голов из тех, что забиваются в штраф ной площади, реализуется из области овальной фор мы шириной 25 м, находящейся на расстоянии от 2 д 16 м от линии ворот и которая с позиции вратаря сме щена влево относительно ворот;
  • из всех голов, которые забиваются ногой с игр в штрафной площади, около двух третей реализуете из положений под углом к воротам;
  • от 80 до 90% всех голов, забиваемых головой реализуется из области размером 10х10 м, находя щейся напротив ворот в 2 — 12 м от линии ворот.

    И той части этой области, которая находится в площе ди ворот, около половины всех голов забивается го ловой [5];

  • примерно 90-95% ударов по воротам с игры из за штрафной площади выполняется не далее пример но 33 м от линии ворот из области напротив воро имеющей вид полукруга, диаметр которого немног больше ширины штрафной площади, а 30-35% — и небольшого участка поля, находящегося в 16-25 м о линии ворот справа от ворот с позиции вратаря. Голы как правило, забиваются не далее 25 м от линии во рот из области шириной примерно 30 м;
  • штрафные удары по воротам выполняются н расстоянии до 35 м и даже более от линии ворот из об ласти в виде полукруга, диаметр которого нескольк больше ширины штрафной площади. Голы после таки ударов забиваются, как правило, из области, которая на ходится примерно в 18-28 м от ворот и по ширине мень ше ширины штрафной площади [2, 4, 6, 7, 10, 13].

Литература

  1. Гаджиев Г.М.Структура соревновательной деятельности как основ комплексного контроля и планирования подготовки футболистов высо кой квалификации: Автореф. канд. дис. М., 1984. — 22 с.
  2. Голомазов С, Чирва Б.Футбол. Закономерности игры и тенденци развития техники: Метод. разработки для слушат ВШТ. Вып. 1. — М РГАФК, 1997. — 43 с.
  3. Голомазов С, ‘Чирва Б.Футбол. Арифметика тактики: Метод. разр; ботки для слушат. ВШТ Вып. 8. — М.: РГАФК, 1998. — 59 с.
  4. Голомазов С, Чирва Б.Футбол. Аналитические закономерности вз$ тия ворот: Метод. пос. Вып. 14. — М.: РГАФК, 2000. — 31 с.
  5. Голомазов С.В, Чирва Б.Г.Футбол. Методика тренировки техник игры головой. — М.: СпортАкадемПресс, 2001. — 80 с.
  6. Голомазов СВ., Чирва Б.ГФутбол. Методика тренировки «техники реалг зации стандартных положений».

    Тема 22. Распределение Пуассона

    — М.: СпортАкадемПресс, 2001. — 116 с.

  7. Голомазов С.В, ЧирваБ.ГТеория и методика футбола. Т. 1. Техник игры. — М.: СпортАкадемПресс, 2002. — 472 с.
  8. ЕлагинА.В.Чемпионаты Европы 1960 — 2000 гг — М.: Терра-Спор Олимпия-Пресс, 2002. — 780 с.
  9. КисснерГ Влияние последовательности забивания мячей на тече ние игры //FussballTrainer. 1956, № 10.
  10. КовтученкоА.И.Некоторые статистические закономерности в фу боле //Теория и практика физ. культуры. 1975, № 1, с. 20-22.
  11. ЛюкшиновН.М.Формирование модельных характеристик соревнов; тельной деятельности футболистов на основе анализа игр чемпионатов мир и первенства СССР: Канд. дис. — Л.: ГДОИФК им. П.Ф. Лесгафта, 1989.
  12. Чирва Б.Вероятность гола в зависимости от места и варианта нач; ла атаки //Теория и практика футбола. 2001, № 4, с. 2-5.
  13. ЧирваБ.ГФутбол. Методика совершенствования «техники эпизо дов игры». — М.: СпортАкадемПресс, 2001. — 112 с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *