Симметричные числа

Симметрия чисел
1. Введение
В нашем мире все взаимосвязано, похоже друг на друга, имеет одинаковые или схожие параметры. Часто эти свойства называют симметрией. В «Кратком Оксфордском словаре» симметрия определяется как «Красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью». [1 ] Очень часто симметрия проявляется в математике и физике. В физике свойства симметрии ярко проявляются в квантовой механике и ее математическом аппарате, например Уравнении Шредингера [ 2]. В математике существует специальный математический аппарат, оперирующий понятиями подобия и симметрии. Этот математический аппарат называется теорией групп [3]. Одним из практических применений симметрии в математике, является шифрование с открытым ключом “RSA” [4].

2. Матрица остатков простого числа

Рассмотрим определение вычета и сравнения по модулю. Вот определение, приведенное в современном толковом словаре. Число “ a “ называется вычетом числа “ b “ по модулю “ m “, если разность “ a – b “ делится на “ m “ ( a, b, m > 0 – целые числа ). То есть “ a “ сравнимо с “ b “ по модулю “ m “.

a ≡ b(mod m)

Это означает, что если “ a “ не делится нацело на “ m ”, то “ b “ остаток от деления “ a “ на “ m “. Два целых числа “ a “ и “ b “ сравнимы по модулю натурального числа “ m “, если при делении на “ m “ они дают одинаковые остатки.
Возьмем простое целое число и обозначим его “ b ”. Множество целых чисел в интервале (1,2,3,…b-1) обозначим “ B “. Если это множество записать в виде столбца, в порядке возрастания снизу вверх, то получим матрицу столбец. Все числа в этом столбце расположены одно за другим, их количество равно “ b – 1 “. Обозначим этот столбец номером “ 1 “. Каждое число из множества “ B “ возведем в квадрат и разделим на “ b “ с остатком. Полученные в результате деления остатки запишем в столбец. Обозначим этот столбец номером “ 2 “ и расположим его справа от столбца номер “ 1 “. Нужно расположить остатки так, чтобы они соответствовали числам, возводимым в квадрат, и находились с ними на одной прямой. После этого каждое число из множества “ B “ возведем в третью степень и разделим на “ b “ с остатком. Из полученных остатков сформируем столбец под номером “ 3 “, по аналогии со столбцом номер “ 2 “. Далее по аналогии возводим в следующую степень и находим остатки от деления на “ b “. Действия выполняем до тех пор, пока показатель степени, в которую возводим числа из множества “ B “, меньше “ b “. В результате получим квадратную матрицу размером (b-1) x (b-1).

Пример такой квадратной матрицы для простого целого числа “ b = 23 “ представлен на рис.1.

Рис. 1 Матрица остатков простого целого числа b = 23.

Полученная матрица обладает удивительными свойствами:

— Наглядно видно, что последний столбец матрицы состоит из одних единиц. Это полностью соответствует тесту простоты Ферма. A n-1 ≡ 1(mod N) [5].
— Следует отметить, что столбец с номером (b-1)/2 ( “ b “ минус 1 деленное на 2 ) состоит только из двух значений множества “ B “. Это значения 1 и ( b-1).
— Значения чисел, множества “ B “, в столбцах, симметричны относительно середины интервала, т.е. пары значений (b-1)/2 и (b+1)/2.
— Виды симметрии для различных столбцов различны.
— Для столбцов с четными номерами, значения равноудаленные от середины интервала, т.е. пары значений (b-1)/2 и (b+1)/2, совпадают. Для матрицы, изображенной на рис. 1, остаток от 11 в квадрате, деленное на 23 и остаток от 12 в квадрате, деленное на 23, совпадают и равны 6.
— Для столбцов с нечетными номерами, значения, равноудаленные от середины интервала, т.е. пары значений (b-1)/2 и (b+1)/2, в сумме всегда равны “ b “. Для матрицы, изображенной на рис. 1, остаток от 11 в третьей степени, деленное на 23, равен 20, остаток от 12 в третьей степени, деленное на 23, равен 3. В сумме эти два остатка равны 23, т.е. равны “ b “.

Все свойства, описанные выше и рассмотренные для матрицы, изображенной на рис. 1, присущи матрицам, построенным по таким же правилам для других простых целых чисел.

3. Матрица остатков составного числа

Матрица, рассмотренная в разделе 2, характеризует симметрию простых чисел. Для составных чисел матрица, построенная по тем же самым правилам, существенно отличается. Она наследует свойства матрицы простого числа, но приобретает и новые свойства. Рассмотрим составное число, являющееся произведением двух простых чисел “ x “ и “ y “. Точно так же величину числа обозначим “ b “, а множество всех чисел, в интервале (1,b-1), обозначим “ B “. Рассмотрим составное число “ b = 35 “, являющееся результатом перемножения простых чисел “ x = 5 “ и “ y = 7 “. Построим матрицу остатков различных степеней, для числового интервала (35-1). Матрица остатков представлена на рис. 2

Рис. 2 Матрица остатков составного числа b = 35.
Часть свойств унаследована от матрицы остатков простого числа. Так например, значения чисел, присутствующих в столбцах, симметричны относительно середины значений числового интервала, т.е. значений (b-1)/2 и (b+1)/2.

Матрица, изображенная на рис. 2, несет в себе новые свойства:

— Значения строк матрицы, у которых в первом столбце присутствуют величины кратные делителям составного числа, принимают числовые значения кратные делителям составного числа и никогда не равны 1. Например, в матрице рис. 2, строка 5, во втором столбце, имеет значение 25, в третьем 20, в четвертом 30 и так далее. Все эти значения кратны 5.
— Если исключить строки, значения которых кратны делителям числа “ b “, то обязательно найдутся два столбца, в которых остальные значения равны 1. Например, на рис. 2 это столбцы с номерами 12, 24.
— Из этих двух выбранных столбцов, наибольший номер столбца равен произведению (x-1) на (y-1). Т.е. если от каждого из сомножителей, вычесть 1 и перемножить их, то получим номер наибольшего выбранного столбца. Для матрицы на рис. 2 сомножители числа “ b “ равны 5 и 7. Если от каждого из них отнять 1 и перемножить, то получим (5-1) x (7-1) = 24. Это как раз номер наибольшего выбранного столбца. Следует отметить, что в данном случае, номер столбца равен функции Эйлера, значение которой равно (x-1) x (y-1) = ѱ(n). [6].
— Во втором столбце обязательно присутствуют четыре значения равные 1. Для матрицы остатков простого числа и значений множества “ B “равных (1,b-1), величины во втором столбце принимают значение 1. Для матрицы остатков составного числа, обязательно существуют еще два числа множества “ B “, при возведении которых в квадрат и делении на “ b “, остаток равен 1. На рис. 2 это числа 6 и 29.
— Всегда присутствуют пары чисел, множества “ B “, следующих друг за другом, значения которых, кратны делителям “ x “ и “ y “ числа “ b”. Для матрицы на рис. 2 это пары ( 14, 15 ) и ( 20, 21 ).

Все свойства, описанные выше и рассмотренные для матрицы, изображенной на рис. 2, присущи матрицам, построенным по таким же правилам для других составных целых чисел.

4. Факторизация чисел

Если рассмотреть метод шифрования с открытым ключом RSA [4], то его использование основано на существовании взаимно противоположных отображений в матрице остатков составного числа. Если взять составное число “ b “, в его матрице остатков всегда существуют два столбца “ c “ и “ d “, для которых выполняются следующие условия:

(b1**c) ≡ c1( mod b); (c1**d) ≡ d1( mod b ); b1 = d1

где b1, c1, d1 числовые значения в столбцах 1, c, d.

То есть для составного числа “ b “ всегда существует два числа “ c “, “ d “ из диапазона (1,b-1), для которых справедлива последовательность действий:
— Определим остаток любого числа “ b1 “, из диапазона (1,b-1), возведенного в степень “ c “ и деленного на “ b “. Обозначим этот остаток “ c1 “.
— Полученный остаток “ c1 “ возведем в степень “ d “ и разделим на “ b “ с остатком. Обозначим этот остаток “ d1 “.
— Полученный остаток “ d1 “ всегда равен “ b1 “.
Для алгоритма шифрования RSA, (c,b) – открытый ключ, (d,b) – секретный ключ.

Рис. 3 Матрица остатков составного числа b = 33.

Рассмотрим матрицу остатков числа b = 33, рис. 3. Для этого числа c = 3, d =7. Возьмем любое число из первого столбца, например 8 и возведем его в 3 степень, остаток равен 17. Число 17 возведем в степень 7, остаток равен 8, т.е. этот остаток равен исходному числу из первого столбца.
RSA один из распространенных алгоритмов шифрования с открытым ключом. Вместе с совершенствованием методов шифрования, совершенствуются методы дешифровки секретных сообщений.
Часто задачу дешифровки для RSA, пытаются решить в лоб, т.е. найти делители базового составного числа. Эти методы называются факторизацией чисел. Кроме простого перебора значений и проверки чисел, используют метод квадратичного решета.

Основы этого метода в том, что часть остатков от возведения в квадрат и деления на число “ b “, являются полными квадратами чисел. На рис. 2 полными квадратами являются квадратичные остатки чисел (11, 12, 17), из первого столбца. Для нахождения делителей числа “ b “, необходимо из квадратичного остатка извлечь квадратный корень. Результат, т.е. квадратный корень, вычесть из числа “ b “ или сложить с числом “ b “. Будут получены числа кратные делителям числа “ b”. Используя алгоритм Евклида можно найти делители числа “ b “.
На рис. 2, для числа 11, квадратичный остаток равен 16. Извлекаем из 16 корень квадратный, он равен 4. К 11 прибавляем 4, получаем 15, число кратное делителю 5. От 11 отнимаем 4, получаем 7, число равное делителю 7.

Одним из самых современных методов факторизации чисел, является метод решета числового поля [7]. Этот метод позволяет сократить количество проверяемых значений и уменьшить время проведения вычислений. Использование метода решета числового поля и свойств матрицы остатков составного числа, позволяет достичь еще более весомых результатов.

Для экспериментальной проверки методов факторизации чисел можно использовать, так называемые, числа Мерсенна [8]. Эти числа представляют собой число 2 в степени “ n “, минус 1, где “ n “ натуральное число. Только ограниченное количество чисел Мерсенна являются простыми, остальные разлагаются на конечное количество делителей.
Как наглядный пример, один из делителей, числа 2 в степени 4099, минус 1, равен –
431654595928296534254101974033397155588925169723783332084380283993261
209600632883153055473166663136594966053411838575253500155337120152873
781979635198920643526624304319945635699208877607737201529464080041890
547345467573782661041054825447947267620282789541695832747170633177331
920343746996221855049648583763367504662477325712779883313257418325242
923223374882540094860518718525171060169694349915604794431233943848839
032331927197514745282594881581533286782002526616104836932259305133211
436643050243706215479754994805351437606942854754835739144357537526269
041212016993538655106720507482318994547865735219931202814880677303379
021540170667630675512896640229254326407201860556265718380698467494757
374722667518146123812589844575734597771351069823560862537030159862538
798769879690913001816439118925869829536250846639469310212937581855933
518710668619729641309263324784218037304674615635505157625365285797298
443305108038716358762651248086440048468372406494047491988831492829285
161751678332086837187972136968851829414833128243888620308340321378185
123642015152620056914762030047166652837911735649104226834442937368573
819974224203735488718107356908123314371578553175076071717675764345142
549580867720367836084289513946899287311856029114297

4. Литература

[1] Д Эллиот, П. Добер “ Симметрия в физике т. 1 “, Издательство МИР,1983 г.
[2] “ Уравнение Шредингера “, ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_Шредингера.
[3] П.С. Александров “ Введение в теорию групп “, Москва НАУКА, ГРФМЛ, 1980г.
[4] “ RSA “, ru.wikipedia.org/wiki/RSA.
[5] “ Тест Ферма “, ru.wikipedia.org/wiki/Тест_Ферма.
[6] “ Функция Эйлера “,http://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_Эйлера.
[7] “ Общий метод решета числового поля “, ru.wikipedia.org/wiki/Общий_метод_решета_числового_поля.
[8] “ Числа Мерсенна “,http://ru.wikipedia.org/wiki/Числа_Мерсенна.

ссылка на оригинал статьи http://habrahabr.ru/post/218053/

Внимательно приглядевшись к обступающей нас природе, можно увидеть общее даже в самых незначительных вещах и деталях. Форма листа дерева не является случайной: она строго закономерна. Листок как бы склеен из двух более или менее одинаковых половинок, одна из которых расположена зеркально Относительно другой. Симметрия листка упорно повторяется, будь то гусеница, бабочка, жучок и т.п.

Радиально-лучевой симметрией обладают цветы, грибы, деревья, фонтаны. Здесь можно отметить, что на не сорванных цветах и грибах, растущих деревьях, бьющем фонтане или столбе паров плоскости симметрии ориентированы всегда вертикально.

Таким образом, можно сформулировать в несколько упрощенном и схематизированном виде общий закон, ярко и повсеместно проявляющийся в природе: все, что растет или движется по вертикали, т.е. вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой симметрии в виде веера пересекающихся плоскостей симметрии. Все то, что растет и движется горизонтально или наклонно по отношению к земной поверхности, подчиняется билатеральной симметрии, симметрии листка.

Этому всеобщему закону подчиняются не только цветы, животные, легкоподвижные жидкости и газы, но и твердые, неподатливые камни. Этот закон влияет на изменчивые формы облаков. В безветренный день они имеют куполовидную форму с более или менее ясно выраженной радиально-лучевой симметрией.

Влияние универсального закона симметрии является по сути дела чисто внешним, грубым, налагающим свою печать только на наружную форму природных тел. Внутреннее их строение и детали ускользают из-под его власти.

Симметрия подобия

Рассмотрим игрушечную матрешку, цветок розы или кочан капусты. Важную роль в геометрии всех этих природных тел играет подобие их сходных частей. Такие части, конечно, связаны между собой каким-то общим, еще не известным нам геометрическим законом, позволяющим выводить их друг из друга.

К перечисленным выше операциям симметрии можно, таким образом, добавить операцию симметрии подобия,представляющую собой своеобразные аналогии трансляций, отражений в плоскостях, повороты вокруг осей с той только разницей, что они связаны с одновременным увеличением или уменьшением подобных частей фигуры и расстояний между ними.

Симметрия подобия,осуществляющаяся в пространстве и во времени, повсеместно проявляется в природе на всем, что растет. А ведь именно к растущим формам относятся бесчисленные фигуры растений, животных и кристаллов. Форма древесного ствола — коническая, сильно вытянутая. Ветви обычно располагаются вокруг ствола по винтовой линии. Это не простая винтовая линия: она постепенно суживается к вершине. Да и сами ветви уменьшаются по мере приближения к вершине дерева. Следовательно, здесь мы имеем дело с винтовой осью симметрии подобия.

Живая природа в любых ее проявлениях обнаруживает одну и ту же цель, один и тот же смысл жизни: всякий живой предмет повторяет себя в себе подобном.

Содержание

Симметрия в математике

Главной задачей жизниявляется ЖИЗНЬ, а доступная форма бытия заключается в существовании отдельных целостных организмов. И не только примитивные организации, но

138

и сложные космические системы, такие как человек, демонстрируют поразительную способность буквально повторять из поколения в поколение одни и те же формы, одни и те же скульптуры, черты характера, те же жесты, манеры.

Какое из чудес могло бы с большей силой поразить человеческое воображение, чем появление новой жизни? Пространство, которое было ничем, становится деревом, яблоком, человеком. Возникновение живого существа — явление целостное, это таинство, так как человек не умеет познавать неделимое, не расчленяя его.

Природа обнаруживает подобие как свою глобальную генетическую программу. Ключ в изменении тоже заключается в подобии. Подобие правит живой природой в целом. Геометрическое подобие — общий принцип пространственной организации живых структур. Лист клена подобен листу клена, березы — березе. Геометрическое подобие пронизывает все ветви древа жизни.

Какие бы метаморфозы ни претерпевала в процессе роста в дальнейшем живая клетка, принадлежащая целостному организму и выполняющая функцию его воспроизведения в новый, особенный, единичный объект бытия, она является точкой «начала», которая в итоге деления окажется преобразована в объект, подобный первоначальному. Этим объединяются все виды живых структур, по этой причине и существуют стереотипы жизни: человек, кошка, стрекоза, дождевой червь. Они бесконечно интерпретируются и варьируются механизмами деления, но остаются теми же стереотипами организации, формы и поведения.

Так же, как подобны одно другому целостные живые существа данного вида жизни, встроенные в ее непрерывно разветвляющуюся цепь, так же подобны одно другому и отдельные их члены, функционально специализированные.

Можно даже выделить, что функция зрения в целом, как и детальная структура органов зрительного восприятия, подчинена глобальному принципу организации жизни — принципу геометрического подобия.

Определяя пространственную организацию живых организмов, прямой угол,который, кстати, правит физическими процессами, организует жизнь силами гравитации. Биосфера (пласт бытия живых существ) ортогональ

на вертикальной линии земного тяготения. Вертикальные стебли растений, стволы деревьев, горизонтальные поверхности водных пространств и в целом земная кора составляют прямой угол. Прямой гол является объективной реальностью зрительного восприятия: выделение прямого угла осуществляют структуры сетчатки в цепи нейронных связей. Зрение чутко реагирует на кривизну прямых линий, отклонения от вертикальности и горизонтальности. Прямой угол, лежащий в основе треугольника, правит пространством симметрии подобий, а подобие, как уже говорилось, — есть цель жизни. И сама природа и первородная часть человека находятся во власти геометрии, подчинены симметрии и как сущности и как символы. Как бы ни были выстроены объекты природы, каждый имеет свой основной признак, который отображен формой, будь то яблоко, зерно ржи или человек.

СИММЕТРИЯ В ПОЗНАНИИ

Понятия симметрии и асимметрии фигурируют в науке с древнейших времен скорее в качестве эстетического критерия, чем строго научного познания. До появления идеи симметрии математика, физика, естествознание напоминали отдельные островки безнадежно изолированных друг от друга и даже противоречивых представлений, теорий, законов. Симметрия характеризует и знаменует собой эпоху синтеза, когда разрозненные фрагменты научного знания сливаются в единую, целостную картину мира.В качестве одной из основных тенденций этого процесса выступает математизация научного знания.

Однако симметрию принято рассматривать не только как основополагающую картину научного знания, устанавливающую внутренние связи между системами, теориями, законами и понятиями, но и относить ее к атрибутам таким же фундаментальным, как пространство и время, движение. В этом смысле симметрия определяет структуру материального мира.

Симметрия обладает многоплановым и многоуровневым характером. Симметрию нужно рассматривать на разных уровнях не только в таких областях научного знания, как физика, математика, химия, биология и др., но

140

и в каждой отрасли отдельно. В системе физических знаний симметрия рассматривается на уровне явлений, законов, описывающих эти явления, и принципов, лежащих в основе этих законов, а в математике — при описании геометрических объектов и геометрии. Симметрия может быть классифицирована как:

■ структурная;

■ геометрическая;

■ динамическая, описывающая соответственно кристаллографический, математическийи физическийаспекты данного понятия.

Симметриюопределяют в связи с такими понятиями, как сохранениеи изменение, равновесие, упорядоченность, тождествои различие,что связано с охватом всех аспектов. Сущностью симметрии,строго говоря, является тождество противоположностей.

Симметрия — это группа преобразований.Всякое построение симметрии связано с введением того или иного равенства. Равенство относительно, и может существовать множество равенств и соответственно множество симметрий.

В ходе развития физики, особенно физики элементарных частиц, возрастает и значение принципов симметрии для познания природы, проблемы правого и левого (особенно в электротехнике, теории полей). Правое и левое — это отражение реальных отличий в реальном, объективно существующем мире.

Таким образом, раньше в естествознании понятие симметрии связывали только с представлениями о структуре предметов, т.е. определяли только пространственно-временную симметрию, теперь же на основании большого числа научных данных можно говорить о симметрии сложных естественных процессов, пространственно-временных свойств, электрических зарядов, физических полей и т.д.


Читайте также:

Назад в архив

ТУР 1


1. Библиотека героя.
Сидят как-то на завалинке Чапаев, Петька и Анка.
Чапаев, покуривая:
— В моей библиотеке не меньше тысячи книг…
— Не, Василий Иванович, — сказал Петька, — книг у тебя явно меньше.
— Одна-то книга у него точно есть, — возразила Анка.
Если истинно только одно из этих утверждений, а два других — ложны, то сколько же книг у Чапаева?

Мир удивительных чисел

7 баллов

2. Сумасшедший король.
На шахматной доске стоит белый король и три черные ладьи. Ходы делаются по правилам обычных шахмат. Докажите, что белый король сможет встать под удар черной ладьи, как бы черные ни пытались этого избежать.
7 баллов

3. Бессмертные хамелеоны.
На одной далекой планете живут хамелеоны. 10 зеленых, 15 желтых, 20 красных. При встрече двух разноцветных хамелеонов они меняют свой цвет на третий. Например, если повстречаются зеленый и красный, то они оба станут желтыми. Может ли случится так, что однажды все хамелеоны на планете будут одного цвета? Новых хамелеонов на планете не появляется, а старые не умирают и не покидают своей планеты.
7 баллов (+ 7 баллов тому, кто рассмотрит задачу в общем виде, т.е. назовет все возможные комбинации, при которых хамелеоны смогут прийти в "одноцветное" состояние)

4. Разноцветная вселенная.
В n-мерном пространстве каждая точка окрашена в один из n различных цветов. Всегда ли в этом пространстве можно построить отрезок длиной в 1 метр, концы которого являются точками одного цвета?
7 баллов

5. Симметричные числа.
Возьмем произвольное число. Прибавим к нему то же число, но записанное наоборот. С результатом поступим так же. Будем продолжать в том же духе до тех пор, пока у нас не получится симметричное число, которое в обе стороны читаеся одинаково, например 5, 33, 17271… Верно ли, что за конечное число таких переворотов и сложений  мы можем получить симметричное число из любого числа?
Примеры:
101 — симметрично, 0 операций;
32: 32+23=55 — симметрично, 1 операция;
87: 87+78=165; 165+561=726; 726+627=1353; 1353+3531=4884 — симметрично, 4 операции.
14 баллов

Решения
1. Библиотека героя.
Самый простой способ рассуждать следующий:
Утверждения Чапаева и Петьки — противоречивы, поэтому истинно только одно из них. Значит — утверждение Анки ложно. Тогда истинным может быть только утверждение Петьки.
Следовательно у Чапаева нет книг совсем.

А можно просто рассмотреть все варианты, поочередно предполагая истинность каждого высказывания. Единственный непротиворечивый вариант — Петька говорит правду.
К условиям

2. Сумасшедший король.
Для начала докажем, что белый король может встать на любую клетку: единственная возможная помеха на его пути — это ладья. Но, если королю ладья мешает сделать ход по горизонтали или вертикали, значит, очевидно, он находится под ее ударом. Если ладья мешает королю двигаться по диагонали, значит, король следующим ходом может встать под ее удар.
Теперь стратегия. Поставим короля на клетку b2. Тогда все ладьи должны находится вне квадрата c диагональю a1-d4, в противном случае король либо находится под ударом, либо следующим своим ходом может встать под удар. Будем двигать короля по диагонали к клетке g7, на что требуется 5 ходов. За это время ладьи должны сменить свои горизонталь и вертикаль, а на это требуется 6 ходов. Значит, сумасшедший король имеет выигрышную стратегию и сможет встать под удар при любой игре черных.

Немного другой вариант. Поставим короля поближе к центр доски и разобьем доску на 4 четверти. Направим короля в ту четверть, которая "наиболее активно" бьется ладьями. Так, может, будет побыстрее…
К условиям

3. Бессмертные хамелеоны.
Сразу перейдем к общему случаю. Пусть а — количество хамелеонов одного цвета, b — другого и с — третьего (не важно какого). При встрече двух хамелеонов их количество изменится
так (a+2,b-1,c-1);
так (a-1,b+2,c-1);
или так (a-1,b-1,c+2)

Попробуем сделать так, чтобы все хамелеоны стали одного цвета. Цвета а, например. Для этого мы должны привести хамелеонов к состоянию, когда b и с — одинаковы.

Ясно, что мы можем легко прийти к такому раскладу: (a+2c,b-c,0), предполагая, что b>c. Теперь мы должны найти такое целое число n, что в комбинации (a+2b-n,b-c-n,2n) выполняется равенство b-c-n=2n, т. е. (b-c)/3=n. Это значит, что разность b-c должна быть кратна 3-м (b и c — произвольные цвета).
В нашем случае разности 20-15, 15-10, 20-10 не кратны 3-м, поэтому хамелеоны одноцветными не станут.
К условиям

4. Разноцветная вселенная.
Сначала мы бы хотели принести свои извинения за нашу неполную формулировку задачи. Многие из вас заметили это. Конечно, изначально она звучала так, как приведено ниже, хотя, в целях удобоваримости, мы опубликовали ее в "сокращенном" варианте. Нам показалось, что так было бы проще…

Полное, корректное условие:
Пусть задано сюръективное отображение f : M -> K из n-мерного собственно евклидового пространства M в n-элементное множество K. Доказать, что для любого отображения f существуют две такие точки P и Q пространства M, что f(P)=f(Q) и d(P,Q)=1. Здесь d — метрика пространства M, которая определяется следующим образом: d(P,Q)=sqrt([x,x]), x — вектор, соответствующий точкам P и Q, а [ , ] — соответствующий билинейный невырожденный симметричный положительно определенный функционал, который и определяет собственную евклидовость пространства М.

Один из вариантов доказательства следующий: В n-мерном пространстве есть правильный n-мерный симплекс (для плоскости это треугольник, для 3-мерного пространства — правильный тетраэдр), который имеет (n+1) вершину и обладает тем свойством, что расстояния между любыми двумя вершинами одинаковы. Если взять n-мерный симплекс со стороной 1, то получим n+1 точку с попарными расстояниями =1, и по принципу Дирихле какие-то две из этих точек должны иметь один и тот же цвет…

И другой вариант: Проведем доказательство от противного. Предположим, что отрезок построить нельзя, т.е. на расстоянии 1 метр от любой точки n-мерного пространства нет точек аналогичного цвета, т.е. поверхность n-мерного шара радиуса 1 метр состоит из точек, цвет которых отличен от цвета точки, являющейся центром этого шара. Обозначим цвета через n,n-1,n-2,…,1. Выберем в пространстве некую точку цвета n. Построим n-мерный шар с центром в данной точке и радиусом 1 метр. Исходя из предположения, заключаем, что его поверхность составляют точки, цвет которых отличен от n, т.е. цвета n-1,n-2,…, 1. Выберем на поверхности построенного шара точку цвета n-1 и построим n-мерный шар радиуса 1 метр с центром в ЭТОЙ точке. Опять же приходим к выводу, что точек цвета n-1 на поверхности нет. 2 построенных таким образом n-мерных шара пересекаются, причем областью их пересечения является (n-1)-мерный шар. Выберем на поверхности полученного (n-1)-мерного шара, не содержащей точек цвета n и (n-1), некую точку цвета (n-2) и снова будем исходить из предположения, что построив (n-1)-мерный шар с центром в этой точке, мы не обнаружим на его поверхности точек цвета (n-2).

И, стало быть, пересечение двух (n-1)-мерных шаров не содержит точек цвета n,(n-1),(n-2). Причем это пересечение, очевидно, представляет из себя (n-2)-мерный шар. Рассуждая таким образом далее, приходим к выводу, что 1-мерный шар (вообще-то, это 2 точки) не содержит точек цвета n,(n-1),(n-2),…,2,1. Пришли к противоречию. Значит, исходное предположение неверно. Таким образом, в n-мерном пространстве, каждая точка которого окрашена в один из n различных цветов, ВСЕГДА можно построить отрезок длиной в 1 метр, концы которого являются точками одного цвета.

P. S. Как правильно отметили несколько участников после опубликования ответов, во втором варианте допущена ошибка. Радиус шаров (точнее, сфер) с каждым щагом будет уменьшаться и перестанет равняться 1, что нехорошо. Предлагаем исправленный вариант:

Докажем от противного.
Обозначим цвета через n,n-1,n-2,…,1.
Выберем в пространстве некую точку цвета n. Построим n-мерную сферу A с центром в этой точке и радиусом в 1 метр. На поверхности этой сферы не должно быть точек с цветом n, иначе существование отрезка с концами одного цвета очевидно. Выберем из множества точек на сфере точку с цветом n-1. Построим сферу B радиусом в 1 метр и с центром в этой точке. На поверхности этой сферы не должно быть точек с цветами (n-1). Множество точек принадлежащих пересечению сфер A,B является сферой n-1 размерности, которая не содержит точек с цветами n,(n-1). Выберем на этой сфере точку с цветом n-2 и построим сферу C с радиусом 1 и центром в этой точке. Результатом пересечения сфер A,B,C является сфера размерности n-2, не содержащая цветов n,(n-1) и (n-2)…
Рассуждая таким образом далее, приходим к выводу, что 1-мерная сфера (вообще-то, это 2 точки) не содержит точек цвета n,(n-1),(n-2),…,2. Пришли к противоречию. Значит, исходное предположение неверно. Таким образом, в n-мерном пространстве, каждая точка которого окрашена в один из n различных цветов, ВСЕГДА можно построить отрезок длиной в 1 метр, концы которого являются точками одного цвета.
К условиям

5. Симметричные числа.
Именно к этой задаче мог бы относится наш эпиграф. Мы долго пытались решить эту задачу самыми разными методами, но не имели в этом особого успеха. Вы, похоже, тоже. Но не стоит сдаваться! Мы подумали, и решили, что поместим задачу в 5-ом туре. Вдруг у кого-то из вас появятся оригинальные идеи по поводу решения. Мы готовы начислить очки за идею.
Дабы вдохновить вас на подвиги, мы предлагаем программу собственного изготовления — достаточно ввести в нее число, и она вам что-нибудь выдаст. Программа сдается, только если число не приводится к симметричному за 70000 операций. А тут — исходники на Паскале Можете испытать, например, число 196. Удачи!
К условиям

Загадки, логические задачи, головоломки. Математические.

Предыдущий 1 Следующий Выбор страниц

[Определение] целое число, знаками, если оно симметрично, симметрия называется этот номер является номером.

Например: 1234321,123321 так далее.

В общем, средний больше или равно двум. Минимальное количество симметрии 11, нет максимального числа симметрии, поскольку цифровые бесконечен.

[Классификация] симметрии можно разделить на несколько номеров и даже с лишним симметричные немного симметричного числа.

Нечетное симметричные немного относится к количеству цифр нечетное число симметрии. Бит нечетности симметричные цифры называют самой середине рисунка оси симметрии числа.Даже бит симметричного цифра является четным числом, означает число симметрии. Даже количество не-битный симметричный осей симметрии.

[Метод] производит симметричный число генерируемых двумя способами:

(1) форму 11,111,1111, …… количество квадратных симметрична числа. Такие как:

11 × 11 = 121

111 × 111 = 12321

1111 × 1111 = 1234321

……

(2) некоторого натурального числа с его обратного номера вместе, и вновь обращается с обратным числа вместе и постоянно продолжаются, также получить число симметрии.

Такие как: 475

475 574 = 1049

1049 9401 = 10450

10450 05401 = 15851

15851 является число симметрии.

Предыдущий 1 Следующий Выбор страниц


版权申明 | 隐私权政策 | Авторское право @2018 Всемирный энциклопедические знания

Симметрия повсюду Работу выполнили ученики 8 класса моу «Кувакинская гимназия» : Лапшина Юлия

Скачать

Название Симметрия повсюду Работу выполнили ученики 8 класса моу «Кувакинская гимназия» : Лапшина Юлия
Л.Н. Толстого «Война и мир» в системе информационно-методическо
Дата 25.09.2013
Размер 235.5 Kb.
Тип Презентации

Симметрия повсюду

  • Работу выполнили ученики 8 класса МОУ « Кувакинская гимназия» : Лапшина Юлия

  • Расхожев Дмитрий

  • Вдохновение нужно в геометрии, как в поэзии.

  • Пушкин А.С.

Наши исследования

  • В результате изучения темы : « Сим-

  • метрия вокруг нас» мы провели следующие исследования:

  • Симметрия в мире растений.

  • Симметрия мире животных.

  • Симметрия в буквах.

  • Симметрия в цифрах.

  • Симметрия в архитектуре

В мире растений

  • Цель исследования:

  • исследовать листья деревьев и лепестки цветов на симметрию относительно среднего стебля.

Выводы

  • 1.В окружающем нас мире имеется очень много листьев, цветов, деревьев, которые обладают осевой симметрией.

  • 2. Симметрия в природе- это красота

Симметрия в мире животных

  • Наша группа провела исследования среди животного мира и увидела,что большая часть животных обладает симметрией

Бабочки, жуки

  • Симметрия-это соразмерность форм, правильное расположение частей предметов.

Выводы

  • В результате наших исследований мы заметили, что среди животных, бабочек, жуков встречаются очень много таких, которые имеют осевую или центральную симметрию.

  • Симметрия- это и красота, и устойчивость.

Симметрия в буквах

  • Мы рассмотрели буквы алфавита и заметили, что ряд букв обладают осевой и центральной симметрией.

  • А, В, О,Х,Ж,Н,

  • П,М,Т,Ш,З,Э,Е

Симметрия в цифрах

  • Нас заинтересовал вопрос: «Есть ли симметрия среди цифр?» Мы рассмотрели 10 арабских цифр и установили, что ряд цифр обладают симметрией. Это следующие цифры:

  • 3, 8, 0

Выводы

  • В результате наших исследований мы заметили, что в русском алфавите 13 букв имеют симметрию и среди арабских цифр 3 обладают симметрией.

  • Симметрия- это красота и равновесие.

Симметрия в архитектуре

  • С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту.

    Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колеса.

Примеры из жизни

техника

Симметричные фигуры

  • При изучении геометрии мы очень часто сталкиваемся с симметричными фигурами.

Вывод:

  • Из всех рассмотренных примеров следует, что симметрия встречается повсюду: в природе, в животном мире, в архитектуре, в цифрах и буквах, т.е.

    действительно нас окружают симметричные предметы, которые придают всему существующему красоту, устойчивость и равновесие !

литература

  • 1 В.Ф. Бутузов. Математика. «Просвещение» АО «Московские учебники», Москва 1998г

  • 2.Л.С. Атанасян, Геометрия 7-9, Москва « Просвещение» 2001

  • 3.А.Савин. «Математические миниатюры», Москва «Детская литература»,1991


Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:

rpp.nashaucheba.ru

rpp.nashaucheba.ru

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *