Симплекс метод python

.

Minimize a linear objective function subject to linear equality and inequality constraints.

Linear Programming is intended to solve the following problem form:

Minimize: c^T * x

Subject to: A_ub * x <= b_ub
A_eq * x == b_eq
Parameters:

c : array_like

Coefficients of the linear objective function to be minimized.

A_ub : array_like, optional

2-D array which, when matrix-multiplied by x, gives the values of the upper-bound inequality constraints at x.

b_ub : array_like, optional

1-D array of values representing the upper-bound of each inequality constraint (row) in A_ub.

A_eq : array_like, optional

2-D array which, when matrix-multiplied by x, gives the values of the equality constraints at x.

b_eq : array_like, optional

1-D array of values representing the RHS of each equality constraint (row) in A_eq.

bounds : sequence, optional

pairs for each element in , defining the bounds on that parameter. Use None for one of or when there is no bound in that direction.

By default bounds are (non-negative) If a sequence containing a single tuple is provided, then and will be applied to all variables in the problem.

method : str, optional

Type of solver. At this time only ‘simplex’ is supported (see here).

callback : callable, optional

If a callback function is provide, it will be called within each iteration of the simplex algorithm. The callback must have the signature callback(xk, **kwargs) where xk is the current solution vector and kwargs is a dictionary containing the following:

"tableau" : The current Simplex algorithm tableau "nit" : The current iteration. "pivot" : The pivot (row, column) used for the next iteration. "phase" : Whether the algorithm is in Phase 1 or Phase 2. "basis" : The indices of the columns of the basic variables.

options : dict, optional

A dictionary of solver options. All methods accept the following generic options:

maxiter :int

Maximum number of iterations to perform.

disp :bool

Set to True to print convergence messages.

For method-specific options, see show_options(‘linprog’).

Returns:

A consisting of the following fields:

x :ndarray

The independent variable vector which optimizes the linear programming problem.

fun :float

Value of the objective function.

slack :ndarray

The values of the slack variables. Each slack variable corresponds to an inequality constraint. If the slack is zero, then the corresponding constraint is active.

success :bool

Returns True if the algorithm succeeded in finding an optimal solution.

status :int

An integer representing the exit status of the optimization:

0 : Optimization terminated successfully 1 : Iteration limit reached 2 : Problem appears to be infeasible 3 : Problem appears to be unbounded
nit :int

The number of iterations performed.

message :str

A string descriptor of the exit status of the optimization.

See also

Additional options accepted by the solvers

Notes

This section describes the available solvers that can be selected by the ‘method’ parameter.

The default method is Simplex.

Method Simplex uses the Simplex algorithm (as it relates to Linear Programming, NOT the Nelder-Mead Simplex) [R157], [R158].

simplex method(rus,python)

This algorithm should be reasonably reliable and fast.

References

[R157] (1, 2) Dantzig, George B., Linear programming and extensions. Rand Corporation Research Study Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1963
[R158] (1, 2) Hillier, S.H. and Lieberman, G.J. (1995), “Introduction to Mathematical Programming”, McGraw-Hill, Chapter 4.
[R159] Bland, Robert G. New finite pivoting rules for the simplex method. Mathematics of Operations Research (2), 1977: pp. 103-107.

Examples

Consider the following problem:

Minimize: f = -1*x[0] + 4*x[1]

Subject to: -3*x[0] + 1*x[1] <= 6
1*x[0] + 2*x[1] <= 4
x[1] >= -3

where: -inf <= x[0] <= inf

This problem deviates from the standard linear programming problem. In standard form, linear programming problems assume the variables x are non-negative. Since the variables don’t have standard bounds where 0 <= x <= inf, the bounds of the variables must be explicitly set.

There are two upper-bound constraints, which can be expressed as

dot(A_ub, x) <= b_ub

The input for this problem is as follows:

Note the actual objective value is 11.428571. In this case we minimized the negative of the objective function.

>>> c=[-1,4]>>> A=[[-3,1],[1,2]]>>> b=[6,4]>>> x0_bounds=(None,None)>>> x1_bounds=(-3,None)>>> fromscipy.optimizeimportlinprog>>> res=linprog(c,A_ub=A,b_ub=b,bounds=(x0_bounds,x1_bounds),… options={"disp":True})Optimization terminated successfully. Current function value: -22.000000 Iterations: 1>>> print(res) fun: -22.0 message: 'Optimization terminated successfully.' nit: 1 slack: array([ 39., 0.]) status: 0 success: True x: array([ 10., -3.])

1. Решение задачи «О рюкзаке» методом динамического программирования

2.

Имеется рюкзак с заданной вместимостью
(под вместимостью понимается максимально возможная
масса), и имеются предметы (n штук), причем каждый
предмет характеризуется массой w и ценностью P.
w = {w1, w2, …, wn}
p={p1, p2, …, pn}
Требуется собрать рюкзак с максимальной ценностью и
минимальным возможным весом, не превышающим Wmax.
1 способ: перебор (простой)
2 способ: метод ветвей и границ, который заключается в
умном переборе. Могут быть случаи, когда перебираются все
возможные варианты.
3 способ: использование «жадного» алгоритма (берется
каждый текущий момент («лучший» элемент),
ориентированный на их относительной точности). Решение
будет получено достаточно быстро, но не факт, что оно будет
оптимальным.

3.

Математическая формулировка задачи
Имеется рюкзак с целочисленным значением «весова» W.
Имеется n предметов, характеризующихся целочисленными
показателями весов wi и ценностей pi.

Симплексный метод решения ЗЛП

Требуется построить
вектор бинарных величин В = {b1, b2, …, bn} (0 – не положили
в рюкзак, 1– положили) так, чтобы при выполнении
ограничения b1w + b2w2 + … + bnwn = ( )=<W
b1p1 + b2p2 + … + bnpn = F(набора предметов) max
Вход: Wmax, bi, pi
Выход: вес рюкзака, который получится W, pi, B и номера
предметов.

4.

Использование метода динамического
программирования
Главной идеей метода динамического
программирования является сохранение результата,
достигнутого на предыдущих этапах, то есть, каждый
раз, решая задачу о необходимости загрузить
рассматриваемый предмет в рюкзак, пытаемся решить
задачу, анализируя те результаты, которые были
достигнуты ранее, то есть до того как мы начали
рассматривать текущий k-й предмет, а именно,
основываясь на том как был упакован рюкзак
предметами с номерами 1,2, …,k-1, причем, необходимо
еще учитывать минимальность веса, то есть
рассматривать возможность веса рюкзака от 0 до w.

5.

Метод решения
Для хранения результата предыдущих вычислений
будем хранить все значения в
матрице А(k,s).
Все величины целочисленные.
k – номер текущего предмета, который может быть
положен в рюкзак;
s- текущий рассматриваемый вес рюкзака.
Учитывая исходные данные, матрица будет (5х15). Элемент
матрицы А будет иметь смысл максимальной возможной
стоимости при весе меньшем или равном s в случае
возможности разместить в рюкзаке k-первых предметов. Для
удобства расчетов будем рассматривать нулевой столбец и
нулевую строку, которые полностью заполнены нулями.
A(0,i) = 0; A(j,0) = 0; для любых i=0,15; j=0,5

6.

Пример: N=5, W max=15
k
1
2
3
4
5
w
6
4
3
2
Расчетная формула:
p
5
3
1
3
A[k,s] = max( A[k-1,s], A[k-1, s – w[k]] + p[k] )
5
6
Будем заполнять матрицу по строкам, то есть каждая строка соответствует
анализу k-го предмета.
A[4,10] = max( A[3,10], A[3,8] + 3) = max (8,11)
k
0
1
0
0
0
1
0
0
2
0
0
3
0
0
4
0
0
5
0
0
6
0
5
7
0
5
8
0
5
9
0
5
10 11 12 13 14 15
0 0 0 0 0 0
5 5 5 5 5 5
2
3
4
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
1
3
3
3
3
3
3
4
5
5
6
5
5
6
5
5
8
5
6
8
8
8
8
5
0
0
3
3
3
6
6
9
9
9
10 12 12 14 14 14
8
8
9
8 8 8 8
8 9 9 9
11 11 11 12

7.

Пример решения задачи:
Wmax = 21
n= 6
k
w
p
k\ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1
s
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6
3
2
1
5
0
5
6
1
6
0
7
5
1
7
0
2
3
1
8
0
4
5
1
9
0
8
7
2 2
0 1
0 0
1 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 0 0 0 2 2 6 6 6 6 6 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
3 0 0 0 2 2 6 6 6 8 8 8 8 1 1 1 1
3
4 0 0 3 3 3 6 6 9 9 9 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 4 4
5 0 0 3 3 5 6 8 9 9 1 1 1 1 1 1 1
1 1 4 4 4 6 6
6 0 0 3 3 5 6 8 9 9 1 1 1 1 1 1 1
1 1 4 4 4 6 6
1
3
1
4
1
6
1
6
1
3
1
6
1
6
1
8
1
3
1
6
1
9
1
9
1
3
1
6
1
9
2
1
1
3
1
6
1
9
2
1
1
3
1
6
2
1
2
1

Решение задачи «О рюкзаке» методом динамического программирования

English     РусскийRules

Прикупил я тут себе новый рюкзак Anti-theft Business Laptop Backpack (рюкзак Антивор) на замену старого рюкзака, у которого накрылся замок. 

Заказывал на Амазоне, он там всего лишь 37 долларов стоит. Я специально смотрел так, чтобы отгружал именно Амазон, а не какие-то левые продавцы.

Математическая библиотека с симплекс-методом?

Просто на это площадке могут работать разные продавцы, в том числе и из Китая. Когда мне нужно что-то с Китая, то я это заказываю на eBay, потому что там очень хорошая защита покупателей. Если китайский поставщик – кидалово, то eBay возвращает деньги. 

Тут нужно было быстрее и нужно было качество, поэтому я выбрал рюкзак, где поставщиком был именно Amazon. И доставили быстро, всего через пару дней, но вот не сказал бы, что качество бомбовое. Вот такие нитки пришлось убирать:

Мне сильно не хватает карманов снаружи. У меня несколько лет назад был просто дешевый рюкзак, у которого по бокам были карманы из сеточки, в которые можно вставлять термосы с водичкой/чаем/кофе. Очень удобно. 

Возможность раскидывать рюкзак на полную – кажется удобной, но все же не всегда нужно. И я понимаю, зачем раскидывается рюкзак, за счет того, что змейка спрятана, когда открываешь верх, то внутрь залазить не совсем удобно.

Только когда раскроешь карман хотя бы на 2/3, тогда доступ внутрь доступ хороший. 

У рюкзака продуман и USB разъем, к которому можно подвести коробку с аккумулятором. У меня iPhone 6-ка уже трехлетней давности, и аккумулятор полный день с недавних пор не держит. Примерно месяц назад начались проблемы, и теперь заряжать телефон приходится пару раз в день. Если даже он ночь простоит, вечером часов в 7 уже нужно заряжать. А в это время я часто хожу в фитнес и с мертвым телефоном и без музыки не весело. Поэтому я на работе днем подзаряжаю или по дороге домой вставляю телефон в этот USB на внешний аккумулятор.

Внутри карманов явно не хватает. Хотелось бы больше. Не помешало бы парочку карманов со змейкой, куда можно было бы убрать мелочевку. 

Немного смущает то, что сверху есть большой карман, куда убирается фигня, в которую можно прятать рюкзак в случае дождя. С одной стороны, производитель утверждает, что рюкзак водонепроницаемый, а с другой стороны включают в поставку еще и дождевик. И что теперь? 


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *