Экспоненциальный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет показательный(экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна

Кривая распределения р(х) и график функции распределения приведены на рис. 8.13.

Рис. 8.13

Для случайной величины, распределенной по показательному закону

; .

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону

.

Замечание. Показательный закон распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий. Под потокомсобытий понимают последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты. Например, поток вызовов на телефонной станции, поток заявок в системе массового обслуживания и др.

Пример 8.18. Непрерывная величина Х распределена по показательному закону

Найти вероятность попадания значений величины Х в интервал .

Решение.Поскольку , то

Пример 8.19. Записать плотность распределения и функцию распределения показательного закона, если параметр . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по этому закону.

Решение.Так как , то плотность распределения

Функция распределения имеет вид

Поскольку для показательного закона

; ,

а по условию , то

.

Пример 8.20. Установлено, что время ремонта магнитофонов есть случайная величина Х, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт магнитофона потребуется не менее 15 дней, если среднее время ремонта магнитофонов составляет 12 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Решение.По условию математическое ожидание , откуда параметр . Тогда плотность вероятности и функция распределения имеют вид: ; . Искомую вероятность можно найти, интегрируя плотность вероятности, т.е.

,

но проще использовать функцию распределения

.

Среднее квадратическое отклонение дней.

Пример 8.21. Найти асимметрию показательного распределения.

Решение.Так как асимметрия , а , то найдем вначале центральный момент третьего порядка

:

Найдем

.

Интегрируя дважды по частям, получим

.

Аналогично рассчитаем

.

Следовательно,

.

Значит,

.

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t. Здесь Т — длительность времени безотказной работы элемента, — интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Функция надежности определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t.

Пример 8.22. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента ; для второго ; для третьего элемента Найти вероятности того, что в интервале времени часов откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

Решение.а) Вероятность отказа первого элемента

;

второго элемента

;

третьего элемента

.

Следовательно, искомая вероятность

.

б) .

в) .


⇐ Предыдущая14151617181920212223Следующая ⇒


Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 31017 | Нарушение авторского права страницы



studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2018 год.(0.003 с)…
«0CFGHKLNPSTWZАБВГДЕЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЭЮЯ

ПАСКАЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Значение ПАСКАЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ в математической энциклопедии:

дискретное распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целые неотрицательные значения k=0,1,2, …

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

в соответствии с формулой

где 0<р<1 и целое r>0 — параметры.

Производящая функция и характеристич. функция П. р. равны соответственно

и

Математич. ожидание и дисперсия суть rq/p и rq/p2.

П. р. с параметрами r и рвозникает естественным образом в схеме Бернулли испытаний с вероятностью «успеха» ри вероятностью «неудачи» q=1-ркак распределение числа «неудач» до наступления r-го «успеха». При r=1 П. р. совпадает с геометрическим распределением с параметром р, а при r>1 — с распределением суммы независимых случайных величин, имеющих одинаковое геометрич. распределение с параметром р. В соответствии с этим сумма независимых случайных величин X1,…,X п, имеющих П. р. с параметрами ри r1,…,r п соответственно, имеет П. р. с параметрами р и r1+...+-rn.

Функция распределения П. р. при k=0,1,2,… задается формулой

где в правой части стоит значение функции бета-распределения в точке p(B(r, k+l) — бета-функция). Используя это соотношение, можно доопределить F(k).для всех действительных r>0. В таком обобщенном смысле П. р. наз. отрицательным биномиальным распределением.

Лит.:[1] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.

А. В. Прохоров.

— распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целые неотрицательные значения k = 0, 1, 2, … в соответствии с формулой

при любых действительных значениях параметров 0<р<1 и r>0. Производящая функция и характеристич. функция О. б. р. задаются формулами

и

где q=1 р. Математич. ожидание и дисперсия равны соответственно rq/p и rq/p2. Функция распределения О. б. р. для значений k=0,1,2,… определяется через значения функции бета-распределения в точке рследующим соотношением:

где В (r, k + 1) — бета-функция.

Происхождение термина «О.

Дискретные распределения

б. р.» объясняется тем, что это распределение порождается биномом с отрицательным показателем, а именно, вероятности являются коэффициентами разложения по степеням z.

О. б. р. встречается во многих приложениях теории вероятностей. При целом r>0 О. б. р. интерпретируется как распределение времени ожидания г-го «успеха» в схеме Бернулли испытаний с вероятностью «успеха» р;в такой форме оно наз. обычно Паскаля распределением и является дискретным аналогом гамма-распределения. При r=1 О. б. р. совпадает с геометрическим распределением. Часто О. б. р. появляется в задачах, связанных с рандомизацией параметров распределений, напр, если Yслучайная величина, имеющая Пуассона распределение со случайным параметром l, к-рый в свою очередь имеет гамма-распределение с плотностью

то распределение Yбудет О. б. р. с параметрами r=m и . О. б. р. служит предельной формой Пойа распределения.

Сумма независимых случайных величин Х 1,…,Х n, имеющих О. б. р. с параметрами ри соответственно, имеет О. б. р. с параметрами ри

. При больших r и малых q, когда О. б. р. приближается распределением Пуассона с параметром l. Многие свойства О. б. р. определяются тем фактом, что оно представляет собой обобщенное распределение Пуассона.

Лит.:[1] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967.

А. В. Прохоров.

Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина $X$ подчиняется показательному (экспоненциальному) закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей $f\left(x\right)$ имеет следующий вид:

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\ 
\lambda e^{-\lambda x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right..$$ 

Тогда функция распределения:

$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\ 
1-e^{-\lambda x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$$ 

Графики функций плотности $f\left(x\right)$ и распределения $F\left(x\right)$ представлены на рисунке:

Для показательного закона распределения числовые характеристики могут быть вычислены по известным формулам. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны между собой и равны $1/\lambda $, то есть:

$$M\left(X\right)=\sigma \left(X\right)={{1}\over {\lambda }}.$$ 

Дисперсия:

$$D\left(X\right)={{1}\over {{\lambda }^2}}.$$ 

Параметр распределения $\lambda $ в статистическом смысле характеризует среднее число событий, наступающих в единицу времени. Так, если средняя продолжительность безотказной работы прибора равна $1/\lambda $, то параметр $\lambda $ будет характеризовать среднее число отказов в единицу времени. Примерами случайных величин, подчиненных показательному закону распределения, могут быть:

  • Продолжительность телефонного разговора;
  • Затраты времени на обслуживание покупателя;
  • Период времени работы прибора между поломками;
  • Промежутки времени между появлениями автомашин на автозаправочной станции.

Пример.

Экспоненциальное распределение

Случайная величина $X$ распределена по показательному закону $f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\ 
5e^{-5x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$. Тогда математическое ожидание $=$ стандартное отклонение $\sigma (X)=1/\lambda =1/5=0,2$, дисперсия $D(X)=1/{\lambda }^2=1/25=0,04.$

Пример. Время работы прибора — случайная величина $X$, подчиненная показательному распределению. Известно, что среднее время работы данного прибора составляет $500$ часов. Какова вероятность того, что данный прибор проработает не менее $600$ часов?

Математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=500=1/\lambda $, отсюда параметр распределения $\lambda =1/500=0,002.$ Можем записать функцию распределения:

$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\ 
1-e^{-\lambda x}=1-e^{-0,002x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$$ 

Тогда вероятность того, что прибор проработает менее $600$ часов, равна:

$$P\left(X\ge 600\right)=1-P\left(X < 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$ 

comments powered by HyperComments

Моделирование случайных событий

Для моделирования случайного события А, вероятность которого равна Рс, достаточно сформировать одно число r, равномерно распределенное на интервале (0,1). При попадании r в интервал (0,Рс) считают, что событие А наступило, в противном случае не наступило.

Пусть, например, вероятность отказа вычислительной системы составляет 0,3. Чтобы определить, возникнет ли отказ на очередном шаге моделирования, достаточно сгенерировать с помощью датчика одно случайное число r и сравнить его с вероятностью отказа (рис.2.4).

 

Рисунок 2.4 — Моделирование случайного события; отказ «произошел» (слева), отказ «не произошел» (справа)

 

Для моделирования полной группы N несовместных событий А={А1, А2,…, АN} с вероятностями соответственно также достаточно одного значения r: событие Аi из группы А считается наступившим, если выполняется условие:

Здесь

Предположим, что в каждый момент времени может происходить обращение только к одному из трех модулей оперативной памяти вычислительной системы. Вероятности обращения к каждому из них равны соответственно 0.3, 0.5 и 0.2. Чтобы узнать, из какого именно модуля будут считаны данные, необходимо определить, в какой интервал попадет полученное от датчика случайное число r (рис.2.5).

Что будет если сумма вероятностей меньше 1?

Ответ.

Если группа событий А не полна, то вводят фиктивное событие АN+1 с вероятностью pN+1 такой, что сумма вероятностей становится равной 1.

Экспоненциальный закон распределения

После этого генерируют число r и проверяют указанное выше условие. При А=АN+1 считают, что ни одно событие из исходной группы А не наступило.

Для имитации зависимых событий А и В (В зависит от А) необходимо знать безусловную вероятность p(А) события А и условные вероятности p(В/А) и p(В/Ā). Сначала описанным выше способом имитируется появление события А, в зависимости от исхода выбирается одна из вероятностей p(В/А) или p(В/Ā), и по той же технологии определяется наступление события В.

 

Рисунок 2.5 — Моделирование полной группы из трех несовместных событий – обращение к первому модулю памяти (слева), обращение к третьему модулю памяти (справа)

 


Дата добавления: 2016-10-18; просмотров: 1319;


Похожие статьи:

Дисперсия — раздел Механика, Часть ІІΙ. Теория вероятностей …

Определение 3. Дисперсия нормально распределенной случайной величины Х равна квадрату среднего квадратического отклонения.

Пример: Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по нормальному закону, если

Ответ: M(x)=5, D(x)=49

График плотности нормального распределения имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения. Ее называют кривой Гаусса.

При изменении параметров а и будет меняться нормальная кривая.

f(x)

Если и и меняется параметр а , т.е. центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы.

Если и меняется параметр , то меняется ордината максимума кривой . При увеличении ордината максимума кривой уменьшается, но так как S под любой кривой должна оставаться = 1, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении — нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков.

Таким образом, параметр характеризует положение, а форму нормальной кривой.

Определение 4. Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и , называется нормированным, а соответствующая нормальная кривая –нормированной.

Все темы данного раздела:

Размещения.
Определение 3.Перестановками называются такие соединения из «n» элементов, которые составлены из одних и тех же элементов и отличаются только порядком следования элементов

Замечание.
Противоположные события – это частный случай несовместных событий. Определение 3. События А и В называются независимыми, если появление од

Относительная частота (частость) события.
Пусть произведено N независимых испытаний на наступление события А и пусть событие А наступило ровно М раз. Определение 1. Относительной частотой

Пусть проведена серия N- испытаний
— событие А наступило

Геометрическое определение вероятности.
Определение 1. Геометрической вероятностью события А называется отношение геометрич

Алгебра событий.
Определение 1. Суммой (объединением) двух событий А и В называют такое событие С, которое состоит в том, что наступит хотя бы одно из этих событий.

Понятие условной вероятности.
Как отмечено выше, вероятность Р (В) как мера степени объективной возможности наступления события В имеем смысл при выполнении определенного комплекса условий. При изменении у

Теорема умножения двух зависимых событий.
Теорема.

Вероятность совместного наступления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении,

При этом вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.
Следствие 2. Для любого из событий А и В справедливо равенство

Теорема умножения для независимых событий.
Пусть события А и В – независимы, тогда Теорема.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Теорема. Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий.

Следовательно,

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
, где

Теорема сложения для совместных событий.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного насту

Вероятность появления только одного события.
Пусть вероятности появления каждого из двух независимых событий и

Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Теорема. Если событие А может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез)

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров,
(по первой гипотезе) По второй гипотезе —

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.
Она применяется, когда событие А, которое может появится только с одной из гипотез , образ

Гипотезы
— деталь произведена первым автоматом;

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Теорема . Вероятность

Что из 4 яиц будет 2 курочки или
2) что из 6 яиц будет 3 курочки? (негодных яиц нет).

Далее определим вероятность того, что в
n – испытаниях событие наступит: 1) менее m раз: ;

Локальная теорема Лапласа.
Теорема. Вероятность

Теорема Пуассона.
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю

Это формула Пуассона (формула редких событий).
1. Формула Пуассона используется при 2. Параметр λ можно и

Теорема Пуассона чаще всего применяется в теории массового обслуживания.
Пример 1: Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится = 0,0002. К.в.т.,ч. на базу прибудут 3 негодных изделия?

Формулы нахождения наивероятнейшего числа.
1. Если — целое число, то

Интегральная теорема Лапласа.
Пусть проводится серия n

Б) будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).
Решение

Действия над дискретными случайными величинами.
Определение 1.

Дискретные случайные величины х и у называются независимыми между собой, если вероятность любого значения каждой из них не зависит от полученных знач

Среднее арифметическое взвешенное.
Пусть произведено N испытаний, в которых случайные величины появлялись соответственно М раз.

Математическое ожидание.
Если N будет стремиться к , то

Математическое ожидание алгебраической суммы двух независимых случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.
5. Математическое ожидание числа появлений события А в «n»

Дисперсия.
можно рассматривать как центр, относительно которого происходит рассеивание этой случайной величи

Среднее квадратическое отклонение.
Определение 1.Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии.

Составить таблицу распределения по частостям.
7-8 8-9 9-10 10-11 11-12

От непрерывной случайной величины можно перейти к дискретной, заменив интервал изменения непрерывной случайной величины серединой каждого интервала.
7,5 8,5 9,5 10,5 11,5

Непрерывную случайную величину можно задать еще с помощью функции
— функции распределения вероятностей случайной величины. Определение 1.

2.Показательный (экспоненциальный закон распределения).

Плотность распределения вероятностей.
Определение 1. Дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения вероятностей называется первая производная интегральной функции распределения

Если случайная величина принимает значения в замкнутом интервале
, т.е.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой находятся в интервале

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины определяется дисперсия непрерывной случайной величины.
2. Дисперсией непрерывной случайной величины с плотностью вероятности называется определенны

Числовые характеристики случайных величин, отражающих особенности распределения.
Определение 1.Модой случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (д

Отсюда следует, что
Тогда имеем:

Основные законы распределения вероятностей случайных величин.
1) Биномиальное распределение значений случайной величины. Дискретная случайная величина называется распределенной по биномиальному закону, если его вероятности находятся

Геометрическое распределение.
Пусть производится “n” независимых испытаний на наступление события А и в каждом испытании вероятность наступления равна p. Испытания заканчиваются как только появляется событие. Таким образом случ

Показательное распределение.
Непрерывная случайная величина считается распределенной по показательному закону, если функция распределения

Равномерное распределение.
Определение 1. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке

Выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты.
Х — время ожидания поезда; — отрезок времени ожидания

Нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины. Значит, это распределение можно задать в виде плотности вероятности.
Определение 1. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трех сигм.
Пусть дан интервал . Вероятность того, что случайная величина, подчиненная нормальному закону, п

Распределения, связанные с нормальным распределением.
1. Распределение или распределение Пирсона (англ. статистик – 1857- 1936гг.)

Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.
Теорема Ляпунова Если — независимые случайные величины, у каждой из которых существует ма

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *